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Formulario y glosario

Todas las fórmulas del curso en un solo lugar, ordenadas por módulo, y un glosario con los términos que usa la cátedra. Cada entrada te lleva al tema donde se explica.

Nivelación

Signos y jerarquía de operaciones

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Ley de los signos: $(+) (+) = + (-) (-) = + (+) (-) = - (-) (+) = -$
Vale igual para la división.
Opuesto del opuesto: $- (- a) = a$
Restar es sumar el opuesto: $a - b = a + (- b)$
Signo menos delante de un paréntesis: $- (a - b + c) = - a + b - c$
Cambia el signo de cada término de adentro.
Propiedad distributiva: $a (b + c) = ab + a c$
Jerarquía de operaciones: $() \to a^{n}, n a \to \times, \div \to +, -$
Primero los paréntesis, de adentro hacia afuera. Luego potencias y raíces, después multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha, y al final sumas y restas.
Potencia de un negativo: $- 2^{2} = - 4 (- 2)^{2} = 4$
El exponente solo afecta a lo que tiene pegado. Sin paréntesis, el signo menos queda afuera.
División y cero: $\frac{0}{a} = 0 (a \neq = 0) \frac{a}{0} no existe$

Fracciones

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Simplificar: $\frac{a k}{b k} = \frac{a}{b} (k \neq = 0)$
Se divide numerador y denominador entre el mismo número.
Suma con igual denominador: $\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}$
Suma con distinto denominador: $\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a d \pm b c}{b d}$
Con el mínimo común múltiplo de los denominadores las cuentas quedan más pequeñas.
Producto: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}$
División: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a d}{b c}$
Fracción de fracciones: $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a d}{b c}$
Extremos por extremos sobre medios por medios.
Signo de una fracción: $- \frac{a}{b} = \frac{- a}{b} = \frac{a}{- b}$
Número mixto: $a \frac{b}{c} = \frac{a c + b}{c}$
Decimal a fracción: $0, 25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$
Tantos ceros en el denominador como cifras decimales tenga el número.

Leyes de exponentes y radicales

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Producto de igual base: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
Cociente de igual base: $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$
Potencia de una potencia: $(a^{m})^{n} = a^{mn}$
Potencia de un producto: $(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$
Potencia de un cociente: $(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$
Exponente cero: $a^{0} = 1 (a \neq = 0)$
Exponente negativo: $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}} (\frac{a}{b})^{- n} = (\frac{b}{a})^{n}$
Exponente fraccionario: $a^{\frac{m}{n}} = n a^{m} = (n a)^{m}$
Raíz de un producto: $n ab = n a n b$
Si $n$ es par, pide $a \geq 0$ y $b \geq 0$ .
Raíz de un cociente: $n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}$
Raíz de una raíz: $m n a = mn a$
Raíz cuadrada de un cuadrado: $a^{2} = ∣ a ∣$
No es $a$ cuando $a$ es negativo.
Lo que no se puede hacer: $(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2} a + b \neq = a + b$

Productos notables

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Cuadrado de una suma: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$
Cuadrado de una diferencia: $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$
Suma por diferencia: $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$
Cubo de una suma: $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
Cubo de una diferencia: $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$
Binomios con un término común: $(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + ab$

Factorización y ecuación de segundo grado

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Factor común: $ab + a c = a (b + c)$
Diferencia de cuadrados: $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$
Trinomio cuadrado perfecto: $a^{2} \pm 2 ab + b^{2} = (a \pm b)^{2}$
Trinomio de la forma x² + sx + p: $x^{2} + s x + p = (x + a) (x + b) con a + b = s, ab = p$
Suma de cubos: $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$
Diferencia de cubos: $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$
Fórmula general: $a x^{2} + b x + c = 0 ⟺ x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$
Discriminante: $Δ = b^{2} - 4 a c$
Si $Δ > 0$ hay dos raíces reales distintas. Si $Δ = 0$ hay una raíz doble. Si $Δ < 0$ no hay raíces reales y el trinomio no se factoriza en $R$ .
Trinomio general factorizado: $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$
$x_{1}$ y $x_{2}$ son las raíces que da la fórmula general. No olvides el factor $a$ .
Suma y producto de raíces: $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$
Teorema del factor (Ruffini): $P (r) = 0 ⟺ (x - r) es factor de P (x)$
Las raíces enteras posibles son los divisores del término independiente. Con Ruffini divides $P (x)$ entre $(x - r)$ .

Fracciones algebraicas y racionalización

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Simplificar: $\frac{P ( x ) Q ( x )}{R ( x ) Q ( x )} = \frac{P ( x )}{R ( x )} (Q (x) \neq = 0)$
Solo se cancelan factores, nunca términos sueltos de una suma.
Suma: $\frac{P}{Q} + \frac{R}{S} = \frac{P S + R Q}{QS}$
Racionalizar una raíz cuadrada: $\frac{a}{b} = \frac{a b}{b}$
Racionalizar una raíz n-ésima: $\frac{a}{n b ^{m}} = \frac{a n b ^{n - m}}{b} (m < n)$
Racionalizar con el conjugado: $\frac{a}{b - c} = \frac{a ( b + c )}{b - c}$
Se multiplica arriba y abajo por el conjugado. Es la misma idea que resuelve muchos límites $\frac{0}{0}$ con raíces.

Ecuaciones

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Ecuación lineal: $a x + b = 0 ⟺ x = - \frac{b}{a} (a \neq = 0)$
Producto igual a cero: $A \cdot B = 0 ⟺ A = 0 o B = 0$
Cociente igual a cero: $\frac{A}{B} = 0 ⟺ A = 0 y B \neq = 0$
Ecuación con fracciones: $\frac{A}{B} = \frac{C}{D} \Rightarrow A D = B C (B, D \neq = 0)$
Descarta al final las soluciones que anulan algún denominador.
Ecuación con raíz: $A = B \Rightarrow A = B^{2}$
Al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones falsas. Comprueba cada una en la ecuación original, donde hace falta $B \geq 0$ .

Desigualdades y valor absoluto

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Sumar a los dos lados: $a < b \Rightarrow a + c < b + c$
Multiplicar por un positivo: $a < b, c > 0 \Rightarrow a c < b c$
Multiplicar por un negativo: $a < b, c < 0 \Rightarrow a c > b c$
Multiplicar o dividir por un negativo invierte el sentido de la desigualdad.
Recíprocos: $0 < a < b \Rightarrow \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$
Signo de un cociente: $\frac{P ( x )}{Q ( x )} > 0 ⟺ P y Q tienen el mismo signo$
Ubica las raíces de $P$ y de $Q$ en la recta y estudia el signo en cada intervalo. No multipliques por $Q (x)$ sin saber su signo.
Valor absoluto: $∣ a ∣ = {a - a si a \geq 0 si a < 0$
Igualdad con valor absoluto: $∣ x ∣ = a ⟺ x = a o x = - a (a \geq 0)$
Menor que: $∣ x ∣ < a ⟺ - a < x < a (a > 0)$
Mayor que: $∣ x ∣ > a ⟺ x < - a o x > a$
Distancia en la recta: $∣ x - a ∣ < r ⟺ a - r < x < a + r$
Los $x$ que están a menos de $r$ de $a$ .
Propiedades: $∣ ab ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ \frac{a}{b} = \frac{∣ a ∣}{∣ b ∣} ∣ a + b ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣$
La última es la desigualdad triangular.

Plano cartesiano y recta

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Distancia entre dos puntos: $d (A, B) = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$
Punto medio: $M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$
Pendiente: $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} (x_{1} \neq = x_{2})$
Punto pendiente: $y - y_{1} = m (x - x_{1})$
Pendiente y ordenada: $y = m x + b$
$b$ es el corte con el eje $y$ .
Ecuación general: $A x + B y + C = 0 m = - \frac{A}{B} (B \neq = 0)$
Horizontal y vertical: $y = k (m = 0) x = k (pendiente no definida)$
Rectas paralelas: $m_{1} = m_{2}$
Rectas perpendiculares: $m_{1} \cdot m_{2} = - 1 ⟺ m_{2} = - \frac{1}{m _{1}}$

Logaritmos y exponenciales

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Definición: $lo g_{b} x = y ⟺ b^{y} = x (b > 0, b \neq = 1, x > 0)$
Valores básicos: $lo g_{b} 1 = 0 lo g_{b} b = 1$
Logaritmo de un producto: $lo g_{b} (x y) = lo g_{b} x + lo g_{b} y$
Logaritmo de un cociente: $lo g_{b} \frac{x}{y} = lo g_{b} x - lo g_{b} y$
Logaritmo de una potencia: $lo g_{b} (x^{n}) = n lo g_{b} x$
Se deshacen entre sí: $lo g_{b} (b^{x}) = x b^{l o g_{b} x} = x (x > 0)$
Logaritmo natural: $ln x = lo g_{e} x ln e = 1 e^{l n x} = x$
Cambio de base: $lo g_{b} x = \frac{ln x}{ln b} = \frac{lo g _{a} x}{lo g _{a} b}$
Cualquier base como base e: $a^{x} = e^{x l n a}$
Ecuación exponencial: $b^{u} = b^{v} ⟺ u = v b^{x} = c ⟺ x = \frac{ln c}{ln b} (c > 0)$
Ecuación logarítmica: $lo g_{b} u = lo g_{b} v ⟺ u = v$
Verifica al final que los argumentos queden positivos.
Lo que no se puede hacer: $lo g_{b} (x + y) \neq = lo g_{b} x + lo g_{b} y (ln x)^{2} \neq = 2 ln x$

Conjuntos y funciones

Conjuntos e intervalos

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Unión: $A \cup B = {x : x \in A o x \in B}$
Intersección: $A \cap B = {x : x \in A y x \in B}$
Diferencia: $A - B = {x : x \in A y x \in / B}$
Complemento: $A^{c} = {x \in U : x \in / A} = U - A$
$U$ es el universo. Con intervalos, el universo es $R$ .
Diferencia simétrica: $A △ B = (A - B) \cup (B - A)$
Leyes de De Morgan: $(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$
Distributivas: $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
Elementos de una unión: $n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$
Intervalos acotados: $(a, b) = {x : a < x < b} [a, b] = {x : a \leq x \leq b}$
El corchete incluye el extremo y el paréntesis lo deja fuera.
Intervalos no acotados: $[a, + \infty) = {x : x \geq a} (- \infty, a) = {x : x < a}$
Junto a $\pm \infty$ siempre va paréntesis.

Relaciones y funciones

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Producto cartesiano: $A \times B = {(a, b) : a \in A, b \in B}$
Cantidad de pares: $n (A \times B) = n (A) \cdot n (B)$
Condición de función: $\forall x \in A, \exists! y \in B : y = f (x)$
Cada elemento del dominio tiene exactamente una imagen. En la gráfica, ninguna recta vertical la corta dos veces.
Imagen y preimagen: $y = f (x) (y es imagen de x, x es preimagen de y)$

Dominio según el tipo de función

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Polinomio: $P (x) \Rightarrow Dom P = R$
Cociente: $\frac{P ( x )}{Q ( x )} \Rightarrow Q (x) \neq = 0$
Raíz de índice par: $n g (x), n par \Rightarrow g (x) \geq 0$
Raíz par en el denominador: $\frac{1}{g ( x )} \Rightarrow g (x) > 0$
Raíz de índice impar: $n g (x), n impar \Rightarrow x \in Dom g$
No impone restricción nueva.
Logaritmo: $lo g_{b} g (x) \Rightarrow g (x) > 0$
Exponencial: $b^{g (x)} \Rightarrow x \in Dom g$
Con base constante $b > 0$ .
Varias restricciones: $Dom f = D_{1} \cap D_{2} \cap \dots$
Cada restricción da un conjunto y el dominio es la intersección de todos.

Inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

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Inyectiva: $f (a) = f (b) \Rightarrow a = b$
Ninguna recta horizontal corta la gráfica más de una vez.
Sobreyectiva: $f : A \to B con Ran f = B$
Biyectiva: $inyectiva + sobreyectiva$
Restringir para que sea biyectiva: $f (x) = x^{2}, f : [0, + \infty) \to [0, + \infty)$
Se achica el dominio hasta un tramo donde sea inyectiva y se toma como llegada el rango.

Funciones de uso frecuente

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Vértice de la parábola: $f (x) = a x^{2} + b x + c \Rightarrow x_{v} = - \frac{b}{2 a}, y_{v} = f (x_{v})$
Forma canónica: $f (x) = a (x - h)^{2} + k$
Vértice en $(h, k)$ . Abre hacia arriba si $a > 0$ y hacia abajo si $a < 0$ .
Rango de la cuadrática: $a > 0 : [k, + \infty) a < 0 : (- \infty, k]$
Exponencial: $f (x) = b^{x} : Dom = R, Ran = (0, + \infty)$
Crece si $b > 1$ y decrece si $0 < b < 1$ .
Logarítmica: $f (x) = lo g_{b} x : Dom = (0, + \infty), Ran = R$
Hipérbola: $f (x) = \frac{1}{x} : Dom = Ran = R - {0}$
Raíz cuadrada: $f (x) = x : Dom = Ran = [0, + \infty)$

Transformaciones de gráficas

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Traslación vertical: $y = f (x) + k$
Sube $k$ unidades si $k > 0$ y baja si $k < 0$ .
Traslación horizontal: $y = f (x - h)$
Se mueve $h$ unidades a la derecha si $h > 0$ . El signo engaña: $f (x + 2)$ va a la izquierda.
Reflexión en el eje x: $y = - f (x)$
Reflexión en el eje y: $y = f (- x)$
Estiramiento vertical: $y = a f (x)$
Estira si $a > 1$ y comprime si $0 < a < 1$ .
Valor absoluto de una función: $y = ∣ f (x)∣$
La parte de la gráfica que queda bajo el eje $x$ se refleja hacia arriba.

Paridad y monotonía

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Función par: $f (- x) = f (x)$
Simétrica respecto al eje $y$ , como $x^{2}$ .
Función impar: $f (- x) = - f (x)$
Simétrica respecto al origen, como $x^{3}$ .
Creciente: $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{2})$
Decreciente: $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) > f (x_{2})$
Acotada: $∣ f (x)∣ \leq M para todo x \in Dom f$

Operaciones y composición

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Suma y producto: $(f \pm g) (x) = f (x) \pm g (x) (f g) (x) = f (x) g (x)$
Dominio: $Dom f \cap Dom g$ .
Cociente: $(\frac{f}{g}) (x) = \frac{f ( x )}{g ( x )}$
Dominio: los $x$ de $Dom f \cap Dom g$ con $g (x) \neq = 0$ .
Composición: $(f \circ g) (x) = f (g (x))$
Primero actúa $g$ y después $f$ . En general $f \circ g \neq = g \circ f$ .
Dominio de la compuesta: $Dom (f \circ g) = {x \in Dom g : g (x) \in Dom f}$

Función inversa

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Cuándo existe: $f : A \to B biyectiva \Rightarrow f^{- 1} : B \to A$
Definición: $f^{- 1} (y) = x ⟺ f (x) = y$
Composición con la inversa: $f (f^{- 1} (x)) = x f^{- 1} (f (x)) = x$
Dominio y rango: $Dom f^{- 1} = Ran f Ran f^{- 1} = Dom f$
Cómo hallarla: $y = f (x) \to despejar x \to intercambiar x e y$
Gráfica: $y = x$
La gráfica de $f^{- 1}$ es el reflejo de la de $f$ respecto a la recta $y = x$ .
No confundir: $f^{- 1} (x) \neq = \frac{1}{f ( x )}$

Funciones en economía

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Ingreso: $I (q) = p q$
Si el precio depende de la cantidad, $I (q) = p (q) q$ .
Costo total: $C (q) = C F + C V (q) lineal: C (q) = C F + c_{v} q$
Costo promedio: $C (q) = \frac{C ( q )}{q} (q > 0)$
Utilidad: $U (q) = I (q) - C (q)$
Punto de equilibrio: $I (q) = C (q) ⟺ U (q) = 0$
Punto de equilibrio lineal: $q = \frac{C F}{p - c _{v}}$
$p - c_{v}$ es el margen de contribución de cada unidad.
Demanda y oferta lineales: $q_{d} = a - b p q_{s} = c + d p (b, d > 0)$
Equilibrio de mercado: $q_{d} (p) = q_{s} (p)$
El precio que iguala las dos da el precio y la cantidad de equilibrio.

Límites y continuidad

Propiedades de los límites

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Límite y laterales: $x \to a lim f (x) = L ⟺ x \to a^{-} lim f (x) = x \to a^{+} lim f (x) = L$
Suma y resta: $lim (f \pm g) = lim f \pm lim g$
Estas reglas valen cuando los límites de la derecha existen y son finitos.
Constante por función: $lim k f = k lim f$
Producto: $lim (f g) = lim f \cdot lim g$
Cociente: $lim \frac{f}{g} = \frac{lim f}{lim g} (lim g \neq = 0)$
Potencia y raíz: $lim f^{n} = (lim f)^{n} lim n f = n lim f$
Sustitución directa: $x \to a lim P (x) = P (a)$
Vale para polinomios y, en general, para funciones continuas en $a$ .

Indeterminaciones

Ver tema

Las siete formas indeterminadas: $\frac{0}{0} \frac{\infty}{\infty} \infty - \infty 0 \cdot \infty 1^{\infty} 0^{0} \infty^{0}$
0/0 con polinomios: $\frac{P ( x )}{Q ( x )} = \frac{( x - a ) P _{1} ( x )}{( x - a ) Q _{1} ( x )} = \frac{P _{1} ( x )}{Q _{1} ( x )}$
Factoriza y cancela $(x - a)$ . Luego sustituye.
0/0 con raíces: $(A - B) (A + B) = A - B^{2}$
Multiplica arriba y abajo por el conjugado.
Formas que no son indeterminadas: $\frac{k}{0} \to \pm \infty (k \neq = 0) \frac{k}{\pm \infty} \to 0 \infty + \infty = \infty \infty \cdot \infty = \infty$
Son abreviaturas de límites, no operaciones. Con $\frac{k}{0}$ el signo sale de los límites laterales.

Límites infinitos y al infinito

Ver tema

Potencias en el denominador: $x \to \pm \infty lim \frac{k}{x ^{n}} = 0 (n > 0)$
Polinomio: $x \to \pm \infty lim (a_{n} x^{n} + \dots + a_{0}) = x \to \pm \infty lim a_{n} x^{n}$
Manda el término de mayor grado.
Racional, grado arriba menor: $n < m : x \to \pm \infty lim \frac{a _{n} x ^{n} + \dots}{b _{m} x ^{m} + \dots} = 0$
Racional, grados iguales: $n = m : x \to \pm \infty lim \frac{a _{n} x ^{n} + \dots}{b _{m} x ^{m} + \dots} = \frac{a _{n}}{b _{m}}$
Cociente de los coeficientes principales.
Racional, grado arriba mayor: $n > m : x \to \pm \infty lim \frac{a _{n} x ^{n} + \dots}{b _{m} x ^{m} + \dots} = \pm \infty$
El signo sale de $\frac{a _{n}}{b _{m}}$ y de la paridad de $n - m$ cuando $x \to - \infty$ .
Método general: $\frac{P ( x )}{Q ( x )} = \frac{P ( x ) / x ^{m}}{Q ( x ) / x ^{m}}$
Divide arriba y abajo entre la mayor potencia del denominador.
∞ − ∞ con raíces: $A - B = \frac{A - B}{A + B}$
Raíz cuando x tiende a −∞: $x^{2} = ∣ x ∣ = - x (x < 0)$
Cuidado con el signo al sacar $x$ de una raíz cuando $x \to - \infty$ .
Exponencial y logaritmo: $x \to + \infty lim e^{x} = + \infty x \to - \infty lim e^{x} = 0 x \to 0^{+} lim ln x = - \infty$

El número e y límites notables

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El número e: $e = n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n} \approx 2, 71828$
Forma con u → 0: $u \to 0 lim (1 + u)^{\frac{1}{u}} = e$
Con una constante: $x \to \pm \infty lim (1 + \frac{k}{x})^{x} = e^{k}$
Fórmula para la forma 1 elevado a ∞: $lim f (x)^{g (x)} = e^{l i m g (x) [f (x) - 1]}$
Úsala cuando $f \to 1$ y $g \to \pm \infty$ .
Límites notables: $x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1 x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1$
Interés compuesto: $A = P (1 + \frac{r}{n})^{n t}$
$P$ es el capital, $r$ la tasa anual y $n$ las capitalizaciones por año durante $t$ años.
Interés compuesto continuo: $A = P e^{r t}$
Es el límite de la fórmula anterior cuando $n \to \infty$ .

Asíntotas

Ver tema

Vertical: $x = a si x \to a^{-} lim f (x) = \pm \infty o x \to a^{+} lim f (x) = \pm \infty$
Basta con un lateral. Se buscan donde se anula un denominador que no se cancela, o en el borde del dominio de un logaritmo.
Horizontal: $y = L si x \to \pm \infty lim f (x) = L$
Oblicua, pendiente: $m = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x} (m \neq = 0)$
Oblicua, ordenada: $b = x \to \pm \infty lim [f (x) - m x]$
Si $m$ y $b$ existen y son finitos, la asíntota es $y = m x + b$ . Se calcula por separado hacia $+ \infty$ y hacia $- \infty$ .
Oblicua en una racional: $\frac{P ( x )}{Q ( x )} = m x + b + \frac{R ( x )}{Q ( x )}$
Aparece cuando el grado del numerador supera en uno al del denominador. Al dividir, el cociente $m x + b$ es la asíntota.
Horizontal u oblicua: $m = 0 \Rightarrow horizontal$
Por un mismo lado no puede haber asíntota horizontal y oblicua a la vez.

Continuidad

Ver tema

Continuidad en un punto: $x \to a lim f (x) = f (a)$
Las tres condiciones: $f (a) existe, x \to a lim f (x) existe, x \to a lim f (x) = f (a)$
Si falla una sola, $f$ es discontinua en $a$ .
Continuidad lateral: $x \to a^{-} lim f (x) = f (a) x \to a^{+} lim f (x) = f (a)$
Discontinuidad evitable: $x \to a lim f (x) = L finito, pero f (a) \neq = L o no existe$
Se arregla redefiniendo $f (a) = L$ .
Discontinuidad inevitable de salto: $x \to a^{-} lim f (x) \neq = x \to a^{+} lim f (x), ambos finitos$
Discontinuidad inevitable infinita: $x \to a^{-} lim f (x) = \pm \infty o x \to a^{+} lim f (x) = \pm \infty$
Hay una asíntota vertical en $x = a$ .
Funciones a trozos con parámetros: $x \to a^{-} lim f (x) = x \to a^{+} lim f (x) = f (a)$
En cada punto de cambio iguala los laterales con el valor y despeja los parámetros.
Teorema de Bolzano: $f continua en [a, b], f (a) f (b) < 0 \Rightarrow \exists c \in (a, b) : f (c) = 0$

Derivadas y aplicaciones

Definición de derivada

Ver tema

Tasa de cambio promedio: $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$
Es la pendiente de la recta secante entre los dos puntos.
Definición: $f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$
En un punto: $f^{'} (a) = x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$
Notaciones: $f^{'} (x) = y^{'} = \frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x} f (x)$
Lectura geométrica: $m_{t a n} = f^{'} (a)$
Pendiente de la tangente en $(a, f (a))$ y tasa instantánea de cambio de $f$ en $a$ .

Derivabilidad

Ver tema

Derivadas laterales: $f_{-}^{'} (a) = h \to 0^{-} lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} f_{+}^{'} (a) = h \to 0^{+} lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$
Derivable en a: $f_{-}^{'} (a) = f_{+}^{'} (a) \in R$
Derivable implica continua: $f derivable en a \Rightarrow f continua en a$
Al revés no vale: $∣ x ∣$ es continua en $0$ y no es derivable ahí.
Punto anguloso: $f_{-}^{'} (a) \neq = f_{+}^{'} (a), ambas finitas$
Punto cuspidal: $f_{-}^{'} (a) = \pm \infty, f_{+}^{'} (a) = \mp \infty$
Tangente vertical: $f_{-}^{'} (a) = f_{+}^{'} (a) = \pm \infty$

Tabla de derivadas

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Constante: $(k)^{'} = 0$
Identidad: $(x)^{'} = 1$
Potencia: $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$
Vale para cualquier exponente real $n$ .
Potencia de una función: $(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}$
Recíproco: $(\frac{1}{u})^{'} = - \frac{u ^{'}}{u ^{2}}$
Raíz cuadrada: $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$
Raíz n-ésima: $(n u)^{'} = \frac{u ^{'}}{n n u ^{n - 1}}$
Exponencial natural: $(e^{u})^{'} = e^{u} u^{'}$
Exponencial de base a: $(a^{u})^{'} = a^{u} ln a u^{'}$
Logaritmo natural: $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$
Lo mismo vale para $ln ∣ u ∣$ .
Logaritmo de base b: $(lo g_{b} u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u ln b}$

Reglas de derivación

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Constante por función: $(k f)^{'} = k f^{'}$
Suma y resta: $(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}$
Producto: $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$
Cociente: $(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$
El orden importa: primero la derivada del numerador.
Regla de la cadena: $(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$
Deriva la de afuera evaluada en la de adentro y multiplica por la derivada de la de adentro.

Recta tangente, normal y diferencial

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Recta tangente: $y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$
Recta normal: $y - f (a) = - \frac{1}{f ^{'} ( a )} (x - a) (f^{'} (a) \neq = 0)$
Si $f^{'} (a) = 0$ , la tangente es $y = f (a)$ y la normal es $x = a$ .
Tangente con pendiente dada: $f^{'} (x) = m$
Resuelve para hallar el punto de tangencia. Paralela a $y = m x + b$ quiere decir con la misma pendiente $m$ .
Aproximación lineal: $f (x) \approx f (a) + f^{'} (a) (x - a)$
Para $x$ cerca de $a$ .
Incremento: $Δ y = f (x + Δ x) - f (x)$
Diferencial: $d y = f^{'} (x) d x$
Con $d x = Δ x$ pequeño, $Δ y \approx d y$ . El error es $∣ Δ y - d y ∣$ .

Derivadas sucesivas, implícita y logarítmica

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Derivadas sucesivas: $f^{''} (x) = (f^{'} (x))^{'} f^{(n)} (x) = (f^{(n - 1)} (x))^{'}$
Derivación implícita: $\frac{d}{d x} g (y) = g^{'} (y) y^{'}$
Deriva los dos lados respecto a $x$ . Cada término con $y$ lleva un factor $y^{'}$ . Luego despeja $y^{'}$ .
Casos típicos: $(y^{n})^{'} = n y^{n - 1} y^{'} (e^{y})^{'} = e^{y} y^{'} (x y)^{'} = y + x y^{'}$
Derivación logarítmica: $ln y = ln f (x) \Rightarrow \frac{y ^{'}}{y} = (ln f (x))^{'} \Rightarrow y^{'} = y (ln f (x))^{'}$
Sirve para productos y cocientes largos y para potencias con base y exponente variables.
Base y exponente variables: $(u^{v})^{'} = u^{v} (v^{'} ln u + v \frac{u ^{'}}{u})$

Regla de L'Hôpital

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La regla: $x \to c lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = x \to c lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}$
Solo con $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ . Se derivan numerador y denominador por separado, no es la regla del cociente.
Forma 0 · ∞: $f g = \frac{f}{1/ g} o \frac{g}{1/ f}$
Pasa uno de los factores al denominador para tener un cociente.
Forma ∞ − ∞: $f - g = \frac{\frac{1}{g} - \frac{1}{f}}{\frac{1}{f g}}$
En la práctica basta con sacar común denominador o factor común.
Formas 1 elevado a ∞, 0 elevado a 0 e ∞ elevado a 0: $lim f^{g} = e^{l i m g l n f}$
Calcula primero el límite del exponente $g ln f$ , que suele ser $0 \cdot \infty$ .
Quién crece más rápido: $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x ^{p}} = 0 x \to + \infty lim \frac{x ^{p}}{e ^{x}} = 0 (p > 0)$
El logaritmo crece más lento que cualquier potencia y la potencia más lento que la exponencial.
Potencia por logaritmo cerca de 0: $x \to 0^{+} lim x^{p} ln x = 0 (p > 0)$

Análisis marginal y elasticidad

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Funciones marginales: $C^{'} (q) I^{'} (q) U^{'} (q)$
Costo, ingreso y utilidad marginal.
Lectura del marginal: $C (q + 1) - C (q) \approx C^{'} (q)$
El costo marginal aproxima lo que cuesta producir una unidad más.
Derivada del costo promedio: $C^{'} (q) = \frac{q C ^{'} ( q ) - C ( q )}{q ^{2}} = \frac{1}{q} (C^{'} (q) - C (q))$
Costo promedio mínimo: $C^{'} (q) = C (q)$
El promedio baja mientras el marginal está por debajo y sube cuando lo supera.
Utilidad máxima: $I^{'} (q) = C^{'} (q) y U^{''} (q) < 0$
Elasticidad: $E_{f} (x) = \frac{x}{f ( x )} f^{'} (x) (f (x) \neq = 0)$
Si $x$ sube 1 %, $f (x)$ cambia aproximadamente $E_{f} (x)$ %.
Clasificación: $∣ E ∣ > 1 : el a ˊ stica ∣ E ∣ < 1 : inel a ˊ stica ∣ E ∣ = 1 : unitaria$
Elasticidad de una potencia: $f (x) = k x^{n} \Rightarrow E_{f} (x) = n$
Elasticidad de un producto: $E_{f g} = E_{f} + E_{g}$
Elasticidad de un cociente: $E_{f / g} = E_{f} - E_{g}$
Ingreso y elasticidad de la demanda: $I (p) = p q (p) \Rightarrow I^{'} (p) = q (p) (1 + E_{q} (p))$
Con demanda elástica ( $E_{q} < - 1$ ) subir el precio baja el ingreso. Con demanda inelástica lo sube.

Crecimiento, extremos y valor medio

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Crecimiento: $f^{'} > 0 en (a, b) \Rightarrow f creciente f^{'} < 0 \Rightarrow f decreciente$
Punto crítico: $c \in Dom f con f^{'} (c) = 0 o f^{'} (c) no existe$
Condición necesaria de extremo: $f derivable con extremo local en c \Rightarrow f^{'} (c) = 0$
Criterio de la primera derivada: $f^{'} : (+) \to (-) \Rightarrow max f^{'} : (-) \to (+) \Rightarrow min$
Si $f^{'}$ no cambia de signo en el punto crítico, no hay extremo ahí.
Extremos absolutos en [a, b]: $[a, b] max f = max {f (a), f (b), f (c_{i})}$
Evalúa en los puntos críticos $c_{i}$ de $(a, b)$ y en los extremos del intervalo. El mayor valor es el máximo absoluto y el menor, el mínimo absoluto.
Teorema de Rolle: $f (a) = f (b) \Rightarrow \exists c \in (a, b) : f^{'} (c) = 0$
Con $f$ continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$ .
Teorema del valor medio: $\exists c \in (a, b) : f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$
Con $f$ continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$ . La tangente en $c$ es paralela a la secante.

Concavidad e inflexión

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Convexa: $f^{''} (x) > 0 en I$
Abierta hacia arriba, como $x^{2}$ . Muchos libros la llaman cóncava hacia arriba.
Cóncava: $f^{''} (x) < 0 en I$
Abierta hacia abajo, como $- x^{2}$ .
Punto de inflexión: $f^{''} (c) = 0 o no existe, y f^{''} cambia de signo en c$
Además $f$ debe ser continua en $c$ . Que $f^{''} (c) = 0$ no basta: $x^{4}$ cumple $f^{''} (0) = 0$ y no tiene inflexión.
Criterio de la segunda derivada: $f^{'} (c) = 0, f^{''} (c) < 0 \Rightarrow max f^{'} (c) = 0, f^{''} (c) > 0 \Rightarrow min$
Si $f^{''} (c) = 0$ el criterio no decide. Vuelve al cambio de signo de $f^{'}$ .

Estudio completo de una función

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1. Dominio: $Dom f$
Dice qué tramos dibujar y dónde buscar asíntotas verticales.
2. Cortes con los ejes: $f (x) = 0 f (0)$
3. Simetría: $f (- x) = f (x) o f (- x) = - f (x)$
Si es par o impar, basta estudiar la mitad.
4. Asíntotas: $x \to a^{\pm} lim f (x) x \to \pm \infty lim f (x)$
Límites en los bordes del dominio y en $\pm \infty$ .
5. Crecimiento y extremos: $f^{'} (x) = 0 y signo de f^{'}$
6. Concavidad e inflexión: $f^{''} (x) = 0 y signo de f^{''}$
7. Tabla y gráfica: $(x, f (x)) en los puntos notables$
Une todo en una sola gráfica y comprueba que los datos sean coherentes entre sí.
8. Rango: $Ran f$
Se lee en la gráfica terminada.