Módulo 2 · Tema 4 de 6

El número e y los límites de la forma 1 elevado a ∞

De dónde sale e, el interés compuesto continuo y cómo resolver límites de la forma 1 elevado a infinito.

Al terminar podrás

Explicar de dónde sale el número e con el interés compuesto.
Reconocer la indeterminación 1 elevado a ∞ y resolverla llevándola a una potencia de e.
Calcular límites 1 elevado a ∞ con cocientes de polinomios, al infinito y en un punto.
Usar los límites notables ln(1 + x)/x → 1 y (eˣ − 1)/x → 1.

5 secciones · 12 tipos de ejercicio

Interés compuesto

Imagina que depositas $1$ dólar en un banco que paga $100%$ de interés anual. Al final del año tienes $2$ . Ahora el banco ofrece capitalizar dos veces al año: a mitad de año te pagan $50%$ y ese interés también gana intereses el resto del año. Terminas con $1, 5^{2} = 2, 25$ . Ganas más.

Si capitalizan $n$ veces al año, cada período paga $\frac{1}{n}$ y al final tienes $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ . ¿Se puede ganar todo lo que uno quiera capitalizando más y más seguido?

Capitalización	$n$	$(1 + \frac{1}{n})^{n}$
Anual	$1$	$2$
Semestral	$2$	$2, 25$
Trimestral	$4$	$2, 4414$
Mensual	$12$	$2, 6130$
Diaria	$365$	$2, 7146$
Por hora	$8760$	$2, 7181$

El monto crece, pero cada vez menos. Se frena cerca de

2, 71828

No: el monto tiene un techo. Por más que se capitalice, nunca pasa de $2, 718281828 \dots$ Ese número es tan importante que tiene nombre propio, el número $e$ . Capitalizar en cada instante se llama capitalización continua.

M (t) = (1 + \frac{1}{1})^{t}

veces por año

1

Monto de

1

dólar al

100%

anual después de

t

años. Al subir

n

, la curva se pega a

e^{t}

, la curva punteada.

La fórmula del interés continuo

Con un capital $C$ , una tasa anual $r$ y $n$ capitalizaciones al año, después de $t$ años el monto es $C (1 + \frac{r}{n})^{n t}$ . Si $n \to \infty$ :

n \to \infty lim C (1 + \frac{r}{n})^{n t} = C e^{r t}

Por ejemplo, $1000$ dólares al $8%$ durante $5$ años dan $1000 e^{0, 4} \approx 1491, 82$ dólares con capitalización continua, frente a unos $1489, 85$ con capitalización mensual.

Compruébalo tú

El número e como límite

Definición

El número e

e = n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n} \approx 2, 71828

Es irracional, como $π$ . Es la base de la función exponencial $e^{x}$ y del logaritmo natural $ln x$ .

La gráfica de

(1 + \frac{1}{x})^{x}

sube y se pega a la recta

y = e

sin cruzarla.

El resultado no depende de la letra. Lo que importa es la forma: uno más uno sobre algo, elevado a ese mismo algo, cuando ese algo crece sin control. Si $u \to \infty$ ,

lim (1 + \frac{1}{u})^{u} = e

Y si se cambia $u$ por $\frac{1}{u}$ , la misma idea se escribe con $u \to 0$ : $lim_{u \to 0} (1 + u)^{1/ u} = e$ .

Ejemplo

Un cambio de variable

Calcula $lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{x})^{x}$ .

1
Queremos que aparezca $\frac{1}{u}$ . Tomamos $u = \frac{x}{3}$ , que también tiende a $\infty$ . Entonces $\frac{3}{x} = \frac{1}{u}$ y $x = 3 u$ .

1 de 3

1 elevado a infinito no es 1

La tentación es decir: la base tiende a $1$ y $1$ elevado a cualquier cosa es $1$ . Pero la base nunca es exactamente $1$ , y el exponente crece sin control. Los dos efectos compiten, y el resultado puede ser cualquier número positivo. Por eso $1^{\infty}$ es una indeterminación.

Compruébalo tú

La fórmula para 1 elevado a ∞

Hacer el cambio de variable cada vez es engorroso. Hay una fórmula que resuelve cualquier $1^{\infty}$ de una vez. Si $f (x) \to 1$ y $g (x) \to \infty$ :

lim f (x)^{g (x)} = e^{l i m g (x) [f (x) - 1]}

De dónde sale: escribimos $f = 1 + (f - 1)$ y llamamos $u = \frac{1}{f - 1}$ , que tiende a infinito. Entonces $f^{g} = [(1 + \frac{1}{u})^{u}]^{g (f - 1)}$ . El corchete tiende a $e$ y queda el exponente $g (f - 1)$ .

Definición

Receta para 1 elevado a ∞

Comprueba que la base tiende a $1$ y el exponente a $\pm \infty$ .
Calcula $f - 1$ con común denominador y simplifica.
Calcula $L = lim g (f - 1)$ . Normalmente es un límite de cocientes de polinomios.
El resultado es $e^{L}$ .

Ejemplo

Cociente de grado uno

Calcula $lim_{x \to \infty} (\frac{x + 3}{x - 1})^{x + 2}$ .

1
La base tiende a $1$ y el exponente a $\infty$ : es $1^{\infty}$ .

1 de 3

Ejemplo

Dos ejemplos de parcial

Calcula $lim_{x \to \infty} (\frac{2 x ^{2} + 2}{2 x ^{2} - 1})^{x}$ y $lim_{x \to + \infty} [\frac{x ^{3} - 2 x ^{2} + 1}{x ^{3} + 6}]^{2 x}$ .

1
Primero: $f - 1 = \frac{3}{2 x ^{2} - 1}$ , así que
$g (f - 1) = \frac{3 x}{2 x ^{2} - 1} \to 0$
El resultado es $e^{0} = 1$ .

1 de 2

Primero mira la base

La fórmula solo vale si la base tiende a $1$ . En $(\frac{2 x + 1}{x + 3})^{x}$ la base tiende a $2$ , y $2^{\infty} = \infty$ . En $(\frac{x + 1}{2 x})^{x}$ tiende a $\frac{1}{2}$ , y $(\frac{1}{2})^{\infty} = 0$ . Ninguno de los dos es indeterminado.

Compruébalo tú

1 elevado a ∞ cuando x tiende a un número

La fórmula no exige que $x$ vaya al infinito. Lo único que pide es que la base tienda a $1$ y el exponente a infinito. Eso pasa a menudo cuando $x \to a$ y el exponente tiene $x - a$ en el denominador.

Ejemplo

Cuando x tiende a cero

Calcula $lim_{x \to 0} (1 + 2 x)^{1/ x}$ .

1
La base tiende a $1$ y el exponente $\frac{1}{x}$ a $\pm \infty$ . Es $1^{\infty}$ .

1 de 2

Ejemplo

Cuando x tiende a otro número

Calcula $lim_{x \to 2} (\frac{x}{2})^{\frac{1}{x - 2}}$ .

1
En $x = 2$ la base vale $1$ y el exponente explota. Es $1^{\infty}$ .

1 de 2

Compruébalo tú

Límites notables con ln y e

Del número $e$ salen dos límites que conviene tener a mano, porque resuelven muchos $\frac{0}{0}$ con logaritmos y exponenciales.

x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1 x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1

El primero sale de reescribir

\frac{ln ( 1 + x )}{x} = ln [(1 + x)^{1/ x}]

Lo de adentro tiende a $e$ , así que el logaritmo tiende a $ln e = 1$ . El segundo sale del primero con el cambio $u = e^{x} - 1$ . Así $x = ln (1 + u)$ y queda $\frac{u}{ln ( 1 + u )} \to 1$ .

Igual que con $e$ , la letra no importa: si $u \to 0$ , entonces $\frac{l n ( 1 + u )}{u} \to 1$ y $\frac{e ^{u} - 1}{u} \to 1$ . Por ejemplo, $lim_{x \to 0} \frac{l n ( 1 + 3 x )}{x} = 3$ .

Ejemplo

Exponencial (salió en parciales)

Calcula $lim_{x \to 0} \frac{1 - e ^{2 x}}{x}$ .

1
Al sustituir sale $\frac{0}{0}$ .

1 de 3

Ejemplo

Logaritmo cerca de e (salió en parciales)

Calcula $lim_{x \to e} \frac{ln x - 1}{x - e}$ .

1
Al sustituir sale $\frac{0}{0}$ . Como $1 = ln e$ , el numerador es $ln x - ln e = ln \frac{x}{e}$ .

1 de 3

Tasa continua y tasa efectiva

Si un banco paga una tasa continua $r$ , un dólar se convierte en $e^{r}$ al cabo de un año. La tasa efectiva anual es $e^{r} - 1$ . El notable $\frac{e ^{r} - 1}{r} \to 1$ dice que, para tasas pequeñas, la efectiva y la continua casi coinciden: con $r = 0, 05$ la efectiva es $0, 0513$ .

Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.