Módulo 2 · Tema 3 de 6

Límites infinitos y al infinito

Cuando la función crece sin control o x se va al infinito. Indeterminaciones ∞/∞ y ∞ − ∞.

Al terminar podrás

Calcular límites de la forma k/0 estudiando el signo del denominador.
Calcular límites al infinito de polinomios y de cocientes de polinomios comparando grados.
Resolver ∞/∞ y ∞ − ∞, también con raíces y con x → −∞.
Comparar el crecimiento de logaritmos, potencias y exponenciales.

6 secciones · 16 tipos de ejercicio

Límites infinitos

Mira $f (x) = \frac{1}{x ^{2}}$ cerca de $0$ . Con $x = 0, 1$ vale $100$ , con $x = 0, 01$ vale $10000$ y con $x = 0, 001$ vale un millón. Mientras más cerca de cero, más grande. Y pasa por los dos lados, porque el cuadrado siempre es positivo. Eso se escribe

x \to 0 lim \frac{1}{x ^{2}} = + \infty

Definición

Límite infinito

$lim_{x \to a} f (x) = + \infty$ significa que $f (x)$ supera cualquier número, por grande que sea, cuando $x$ está suficientemente cerca de $a$ . Con $- \infty$ , $f (x)$ baja de cualquier número.

En rigor el límite no existe como número real. Escribir $+ \infty$ describe cómo no existe. En los ejercicios, si un lado da $+ \infty$ y el otro $- \infty$ , la respuesta es "no existe".

cerca

d = 1

Por la izquierda

f (1) = - 1

Por la derecha

f (3) = 1

$x$	$f (x)$	$x$	$f (x)$
$1$	$- 1$	$3$	$1$
$1, 9$	$- 10$	$2, 1$	$10$
$1, 99$	$- 100$	$2, 01$	$100$
$1, 999$	$- 1000$	$2, 001$	$1000$

\frac{1}{x - 2}

: por la derecha de

2

sube sin control y por la izquierda baja sin control.

Cuando al sustituir sale $\frac{k}{0}$ con $k \neq = 0$ , el límite es infinito. Lo único que hay que averiguar es el signo, y eso depende de si el denominador se acerca a cero con valores positivos ( $0^{+}$ ) o negativos ( $0^{-}$ ).

Forma	Resultado
$\frac{k}{0 ^{+}}$ con $k > 0$	$+ \infty$
$\frac{k}{0 ^{-}}$ con $k > 0$	$- \infty$
$\frac{k}{0 ^{+}}$ con $k < 0$	$- \infty$
$\frac{k}{0 ^{-}}$ con $k < 0$	$+ \infty$

Es la ley de los signos de siempre.

Ejemplo

Análisis de signo

Calcula $lim_{x \to 2^{+}} \frac{x + 1}{x - 2}$ y $lim_{x \to 2^{-}} \frac{x + 1}{x - 2}$ .

1
El numerador tiende a $3$ , positivo. El denominador tiende a $0$ .

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No escribas k/0 = ∞ sin mirar el signo

El resultado $\frac{5}{0}$ no basta. Hay que decir de qué lado viene el cero. Un truco rápido: evalúa el denominador en un número muy cercano al punto, del lado que te piden, y mira su signo.

Compruébalo tú

Cuando hay varios factores, una tabla de signos ordena el trabajo: marcas los ceros del numerador y del denominador, miras el signo de cada factor en cada intervalo y multiplicas por columnas. El signo del cociente justo a cada lado del punto es el signo del infinito.

Compruébalo tú

Límites al infinito

Ahora la pregunta cambia: ¿qué le pasa a $f (x)$ cuando $x$ crece sin parar ( $x \to + \infty$ ) o decrece sin parar ( $x \to - \infty$ )? El caso básico es $\frac{1}{x}$ : con $x = 1000$ vale $0, 001$ , con $x = 1000000$ vale $0, 000001$ . Se acerca a $0$ .

x \to \pm \infty lim \frac{k}{x ^{n}} = 0 (n > 0)

En un polinomio, cuando $x$ es enorme, el término de mayor grado aplasta a los demás. Por ejemplo, con $x = 1000$ , en $x^{3} - 100 x^{2}$ el primer término vale mil millones y el segundo cien millones. Sacando factor común se ve claro:

x^{3} - 100 x^{2} = x^{3} (1 - \frac{100}{x})

y el paréntesis tiende a $1$ . Un polinomio en el infinito se comporta como su término de mayor grado.

Ejemplo

Polinomios hacia menos infinito

Calcula $lim_{x \to - \infty} (2 x^{3} - 5 x^{2} + 1)$ y $lim_{x \to - \infty} (- x^{4} + 3 x)$ .

1
El primero se comporta como $2 x^{3}$ . Con $x$ muy negativo, $x^{3}$ es muy negativo y $2 x^{3} \to - \infty$ .

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Compruébalo tú

Cocientes de polinomios: ∞/∞

En $\frac{3 x ^{2} - x}{2 x ^{2} + 5}$ , con $x \to \infty$ el numerador y el denominador crecen sin control. Sale $\frac{\infty}{\infty}$ , que es indeterminación. La técnica es dividir numerador y denominador entre la mayor potencia del denominador. Así los términos pequeños se convierten en fracciones que tienden a cero.

Ejemplo

Mismo grado

Calcula $lim_{x \to \infty} \frac{3 x ^{2} - x}{2 x ^{2} + 5}$ .

1
Dividimos todo entre $x^{2}$ : $\frac{3 - \frac{1}{x}}{2 + \frac{5}{x ^{2}}}$ .

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Ejemplo

Grados distintos

Calcula $lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 1}{x ^{2} - 3}$ y $lim_{x \to - \infty} \frac{x ^{3} + 1}{2 x - 1}$ .

1
En el primero, dividiendo entre $x^{2}$ : $\frac{\frac{4}{x} + \frac{1}{x ^{2}}}{1 - \frac{3}{x ^{2}}} \to \frac{0}{1} = 0$ .

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Grados	Límite de $\frac{P ( x )}{Q ( x )}$ en $\pm \infty$
grado $P$ < grado $Q$	$0$
grado $P$ = grado $Q$	cociente de los coeficientes principales
grado $P$ > grado $Q$	$+ \infty$ o $- \infty$ , según los signos

Costo promedio a largo plazo

Supón que una fábrica tiene costo $C (q) = 5000 + 20 q$ : $5000$ fijos y $20$ por unidad. El costo promedio es

\frac{C ( q )}{q} = \frac{5000 + 20 q}{q}

Cuando $q \to \infty$ es un cociente de grados iguales y tiende a $20$ . Al producir mucho, el costo fijo se reparte entre tantas unidades que casi no pesa, y cada unidad cuesta en promedio lo mismo que su costo variable, $20$ .

Compruébalo tú

Raíces en el infinito

Con raíces la idea es la misma: buscar el término que manda. Pero hay una trampa. Para meter una $x$ dentro de una raíz cuadrada se usa $x^{2} = ∣ x ∣$ , no $x$ . Cuando $x \to + \infty$ da lo mismo, pero cuando $x \to - \infty$ resulta $∣ x ∣ = - x$ , y ese signo menos cambia el resultado.

Ejemplo

Los dos infinitos dan distinto

Calcula $lim_{x \to \pm \infty} \frac{4 x ^{2} + 1}{x + 3}$ .

1
Arriba: $4 x^{2} + 1 = ∣ x ∣ 4 + \frac{1}{x ^{2}}$ .

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Ejemplo

Raíces de distinto índice (salió en parciales)

Calcula $lim_{x \to \infty} \frac{7 x ^{4} + 2 x - 1 + 3 2 x ^{6} + 5 x}{2 x ^{4} + 1 + 2 x ^{2}}$ .

1
Grado efectivo de cada término: $x^{4} = x^{2}$ y $3 x^{6} = x^{2}$ . Todo es de grado dos.

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El error clásico

Escribir $x^{2} = x$ cuando $x \to - \infty$ . Si haces la cuenta así, te sale el resultado con el signo cambiado. Con raíces de índice impar no hay problema: $3 x^{3} = x$ siempre.

Compruébalo tú

La indeterminación ∞ − ∞

En $x^{2} + 3 x - x$ con $x \to \infty$ los dos términos crecen sin control y se restan. No se puede saber a simple vista quién gana, y de hecho la diferencia se estabiliza en un número. Cuando hay una raíz cuadrada, el método es el conjugado, igual que en $\frac{0}{0}$ :

A - B = \frac{A - B ^{2}}{A + B}

Ejemplo

Conjugado

Calcula $lim_{x \to \infty} (x^{2} + 3 x - x)$ .

1
Multiplicamos y dividimos por $x^{2} + 3 x + x$ . Arriba queda $x^{2} + 3 x - x^{2} = 3 x$ .

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Ejemplo

Tipo parcial

Calcula $lim_{k \to + \infty} [k^{2} + k + 2 - (k - 5)]$ .

1
Multiplicamos por el conjugado. Arriba queda
$k^{2} + k + 2 - (k - 5)^{2} = 11 k - 23$

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Ejemplo

Con raíces cúbicas

Calcula $lim_{x \to + \infty} (3 x^{3} + 1 - 3 x^{3} - x^{2} + 1)$ .

1
Con cubos se usa
$u - v = \frac{u ^{3} - v ^{3}}{u ^{2} + uv + v ^{2}}$

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∞ − ∞ no es cero

Igual que $\frac{0}{0}$ , la forma $\infty - \infty$ puede terminar en cualquier cosa. Cuando $x \to + \infty$ :

$(x + 5) - x \to 5$
$x^{2} - x \to + \infty$
$x - x^{2} \to - \infty$

Si no hay raíces, saca factor común la mayor potencia. Si hay raíces, usa el conjugado.

Compruébalo tú

Exponenciales, logaritmos y jerarquía

Las exponenciales y los logaritmos tienen límites que conviene saber de memoria, porque salen de la forma de su gráfica.

Función	$x \to - \infty$	$x \to + \infty$	Otro
$e^{x}$ , o $b^{x}$ con $b > 1$	$0$	$+ \infty$
$e^{- x}$ , o $b^{x}$ con $0 < b < 1$	$+ \infty$	$0$
$ln x$	no está definida	$+ \infty$	$lim_{x \to 0^{+}} ln x = - \infty$

Una pregunta que salió en un parcial

Para $lim_{n \to + \infty} b^{- n}$ con $b > 0$ hay tres casos. Si $b > 1$ , $b^{- n} = \frac{1}{b ^{n}} \to 0$ . Si $0 < b < 1$ , el límite es $+ \infty$ . Si $b = 1$ , vale $1$ siempre.

Cuando $x \to + \infty$ , todas estas funciones crecen sin control, pero a ritmos muy distintos. La jerarquía es:

ln x ≪ x^{p} ≪ b^{x} (p > 0, b > 1)

El símbolo $≪$ quiere decir "crece mucho más lento que". En la práctica: en un cociente, si arriba está el que crece más rápido el límite es infinito, y si está abajo el límite es $0$ .

f (x) = \frac{x ^{4}}{e ^{x}}

n

4

Al principio

x^{n}

va ganando, pero tarde o temprano la exponencial lo aplasta y el cociente cae a

0

Ejemplo

Dividir entre lo que más crece

Calcula $lim_{x \to + \infty} \frac{5 e ^{x} + x ^{2}}{e ^{x} + 1}$ .

1
Lo que más crece es $e^{x}$ . Dividimos todo entre $e^{x}$ : $\frac{5 + \frac{x ^{2}}{e ^{x}}}{1 + \frac{1}{e ^{x}}}$ .

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Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.