Módulo 2 · Tema 2 de 6

Cálculo de límites

Propiedades, sustitución directa y las indeterminaciones 0/0 resueltas por factorización y racionalización.

Al terminar podrás

Usar las propiedades de los límites y la sustitución directa.
Reconocer la indeterminación 0/0 y entender por qué no tiene un valor fijo.
Resolver 0/0 por factorización, racionalización y cambio de variable.
Calcular límites de funciones a trozos y hallar parámetros para que el límite exista.

6 secciones · 13 tipos de ejercicio

Propiedades y sustitución directa

Hacer tablas para cada límite sería eterno. Por suerte los límites se llevan bien con las operaciones: el límite de una suma es la suma de los límites, el de un producto es el producto, y así. Si $lim_{x \to a} f (x) = L$ y $lim_{x \to a} g (x) = M$ :

Propiedad	Se escribe
Constante	$lim_{x \to a} k = k$
Suma y resta	$lim_{x \to a} [f (x) \pm g (x)] = L \pm M$
Múltiplo	$lim_{x \to a} k f (x) = k L$
Producto	$lim_{x \to a} f (x) g (x) = L M$
Cociente	$lim_{x \to a} \frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{L}{M}$ , si $M \neq = 0$
Potencia y raíz	$lim_{x \to a} [f (x)]^{n} = L^{n}$ , $lim_{x \to a} n f (x) = n L$

En la raíz de índice par se necesita

L > 0

La consecuencia práctica es enorme: en polinomios, fracciones de polinomios con denominador distinto de cero, raíces, exponenciales y logaritmos dentro de su dominio, el límite se calcula sustituyendo. A esto se le llama sustitución directa.

También vale para composiciones: si $g (x) \to b$ y $f$ es continua en $b$ , entonces $lim_{x \to a} f (g (x)) = f (b)$ . Por ejemplo, $lim_{x \to 3} x^{2} + 7 = 16 = 4$ .

Ejemplo

Sustitución directa

Calcula $lim_{x \to 2} \frac{3 x ^{2} - x + 1}{x + 1}$ .

1
El denominador en $x = 2$ vale $3$ , que no es cero. Se puede sustituir.

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Siempre sustituye primero

El primer paso de cualquier límite es sustituir. Si sale un número, terminaste. Solo si sale algo como $\frac{0}{0}$ hay que trabajar más.

Compruébalo tú

Qué es una indeterminación

Al sustituir en $\frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ con $x = 2$ sale $\frac{0}{0}$ . La tentación es decir que eso vale $0$ , o $1$ , o que no existe. Ninguna de las tres es correcta en general. Mira lo que pasa con fracciones que dan todas $\frac{0}{0}$ en $x = 0$ :

Límite	Al sustituir	Simplificado	Resultado
$lim_{x \to 0} \frac{x}{x}$	$\frac{0}{0}$	$1$	$1$
$lim_{x \to 0} \frac{3 x}{x}$	$\frac{0}{0}$	$3$	$3$
$lim_{x \to 0} \frac{x ^{2}}{x}$	$\frac{0}{0}$	$x$	$0$
$lim_{x \to 0} \frac{x}{x ^{2}}$	$\frac{0}{0}$	$\frac{1}{x}$	No existe

La misma forma

\frac{0}{0}

termina en resultados distintos.

Por eso se llama indeterminación: la forma sola no determina el resultado. Lo que decide es qué tan rápido se va a cero el numerador comparado con el denominador, y eso solo se ve simplificando.

Hay siete formas indeterminadas. En este tema trabajamos $\frac{0}{0}$ . Las demás aparecen en los temas que siguen.

\frac{0}{0} \frac{\infty}{\infty} \infty - \infty 0 \cdot \infty 1^{\infty} 0^{0} \infty^{0}

Lo que no es indeterminación

$\frac{0}{5}$ vale $0$ , sin discusión. Y $\frac{5}{0}$ tampoco es indeterminación: un número fijo entre algo que se hace diminuto crece sin control, así que el límite es infinito o no existe. Eso lo estudiamos en Límites infinitos y al infinito.

Compruébalo tú

Factorización

Si al sustituir $x = a$ el numerador y el denominador dan $0$ , entonces $a$ es raíz de los dos polinomios. Por el teorema del factor, los dos tienen el factor $(x - a)$ . El método es:

Factoriza el numerador y el denominador.
Cancela el factor $(x - a)$ . Es válido porque en el límite $x \neq = a$ , así que $x - a \neq = 0$ .
Sustituye en lo que queda.

Ejemplo

Dos trinomios

Calcula $lim_{x \to 3} \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 9}$ .

1
Sustituyendo: $\frac{9 - 15 + 6}{9 - 9} = \frac{0}{0}$ .

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cerca

d = 1

Por la izquierda

f (2) = 0

Por la derecha

f (4) = 0, 2857

$x$	$f (x)$	$x$	$f (x)$
$2$	$0$	$4$	$0, 2857$
$2, 9$	$0, 1525$	$3, 1$	$0, 1803$
$2, 99$	$0, 1653$	$3, 01$	$0, 1681$
$2, 999$	$0, 1665$	$3, 001$	$0, 1668$

La gráfica tiene un hueco en

x = 3

a la altura

\frac{1}{6}

Ejemplo

Grado tres con Ruffini

Calcula $lim_{x \to 1} \frac{x ^{3} - 2 x ^{2} - x + 2}{x ^{2} - 1}$ .

1
Sustituyendo sale $\frac{1 - 2 - 1 + 2}{0} = \frac{0}{0}$ .

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Ejemplo

Resta de fracciones (salió en parciales)

Calcula $lim_{x \to 1} (\frac{1}{1 - x} - \frac{3}{1 - x ^{3}})$ .

1
Cada fracción por separado explota. Hay que restarlas primero.

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Un 0/0 que vas a ver en economía

Si el ingreso por vender $q$ unidades es $I (q) = 50 q - q^{2}$ , el cambio de ingreso por unidad entre $10$ y $q$ unidades es $\frac{I ( q ) - I ( 10 )}{q - 10}$ . Cuando $q \to 10$ eso da $\frac{0}{0}$ . Factorizando:

\frac{- ( q ^{2} - 50 q + 400 )}{q - 10} = \frac{- ( q - 10 ) ( q - 40 )}{q - 10} = 40 - q \to 30

Ese $30$ es el ingreso marginal en $q = 10$ , y es justo la idea de derivada que verás más adelante.

Compruébalo tú

Racionalización

Cuando el $\frac{0}{0}$ viene de una raíz, no se puede factorizar directamente. El truco es multiplicar arriba y abajo por el conjugado: si aparece $A - B$ , el conjugado es $A + B$ . Por la diferencia de cuadrados,

(A - B) (A + B) = A - B^{2}

y la raíz desaparece. Después aparece el factor que se anula y se cancela.

Ejemplo

Racionalizar el numerador

Calcula $lim_{x \to 0} \frac{x + 2 - 2}{x}$ .

1
Sustituyendo sale $\frac{0}{0}$ . Multiplicamos arriba y abajo por $x + 2 + 2$ .

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Ejemplo

Tipo parcial

Calcula $lim_{x \to 7} \frac{2 - x - 3}{x ^{2} - 49}$ .

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Sustituyendo: $\frac{2 - 2}{0} = \frac{0}{0}$ . Multiplicamos por $2 + x - 3$ .

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Ejemplo

Doble racionalización

Calcula $lim_{x \to 1} \frac{x + 3 - 2}{x + 8 - 3}$ .

1
Hay raíces arriba y abajo, y las dos se anulan. Multiplicamos por los dos conjugados: $x + 3 + 2$ y $x + 8 + 3$ .

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Multiplica arriba y abajo

Si multiplicas solo el numerador por el conjugado, cambiaste la fracción. Arriba y abajo va el mismo factor, así se multiplica por $1$ . Y no hace falta desarrollar el factor que no se cancela: déjalo indicado y sustituye al final.

Compruébalo tú

Cambio de variable con raíces

Con raíces cúbicas el conjugado cuadrado no sirve. Lo más limpio es cambiar de variable para que la raíz desaparezca: llamas $t$ a la raíz, despejas $x$ y reescribes el límite en $t$ . Si hay raíces de índices distintos de la misma expresión, usa como $t$ la raíz cuyo índice es el mínimo común múltiplo. Con una raíz cuadrada y una cúbica, el índice es $6$ .

Ejemplo

Una raíz cúbica

Calcula $lim_{x \to 8} \frac{3 x - 2}{x - 8}$ .

1
Sea $t = 3 x$ . Entonces $x = t^{3}$ y, cuando $x \to 8$ , $t \to 2$ .

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Ejemplo

Raíces de distinto índice (salió en parciales)

Calcula $lim_{x \to 9} \frac{3 x - 1 - 2}{x - 1 - 2 2}$ .

1
Tomamos $t = 6 x - 1$ . Entonces $3 x - 1 = t^{2}$ y $x - 1 = t^{3}$ . Cuando $x \to 9$ , $t \to 68 = 2$ .

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Compruébalo tú

Funciones a trozos y parámetros

En una función a trozos, el límite en un punto de cambio se calcula con los laterales, cada uno con su fórmula. Si la fórmula trae una letra desconocida, la pregunta típica es: ¿qué valor debe tener para que el límite exista? La respuesta sale de igualar los dos laterales.

Ejemplo

Dos parámetros, dos puntos

Sea $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 x + a x^{2} b x si x < - 1 si - 1 \leq x < 2 si x \geq 2$ . Halla $a$ y $b$ para que existan los límites en $x = - 1$ y en $x = 2$ .

1
En $x = - 1$ : por la izquierda $2 (- 1) + a = a - 2$ , por la derecha $(- 1)^{2} = 1$ . Igualamos: $a - 2 = 1$ , así que $a = 3$ .

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El valor en el punto no entra en la cuenta

Para que el límite exista solo importan los laterales. Si además te piden continuidad, ahí sí tienes que revisar que $f (a)$ coincida con el límite. Eso lo ves en el tema Continuidad.

Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.