Módulo 2 · Tema 1 de 6

La idea de límite

Qué significa acercarse a un punto, límites laterales, leer límites en una gráfica y la definición formal.

Al terminar podrás

Estimar un límite con una tabla de valores, acercándote al punto por los dos lados.
Calcular límites laterales y decidir con ellos si el límite existe.
Leer límites y valores de una función en su gráfica, incluidas funciones a trozos.
Entender la definición formal con ε y δ, y por qué el límite es único.

6 secciones · 14 tipos de ejercicio

Acercarse sin llegar

Mira la función $f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ . En $x = 1$ el denominador vale cero, así que $f (1)$ no existe. Pero eso no impide preguntar otra cosa: ¿qué le pasa a $f (x)$ cuando $x$ está muy cerca de $1$ , sin ser $1$ ?

La forma más honesta de averiguarlo es calcular. Tomamos valores de $x$ cada vez más cerca de $1$ , unos por debajo y otros por encima.

$x$	$0, 9$	$0, 99$	$0, 999$	$1, 001$	$1, 01$	$1, 1$
$f (x)$	$1, 9$	$1, 99$	$1, 999$	$2, 001$	$2, 01$	$2, 1$

Por los dos lados, los valores de

f (x)

se pegan al

2

Los valores se acercan a $2$ por ambos lados. Eso se escribe

x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = 2

y se lee "el límite de $f (x)$ cuando $x$ tiende a $1$ es $2$ ". Hay una explicación algebraica: si $x \neq = 1$ , el numerador es $(x - 1) (x + 1)$ y la fracción se simplifica a $x + 1$ , que cerca de $1$ vale casi $2$ .

cerca

d = 1

Por la izquierda

f (0) = 1

Por la derecha

f (2) = 3

$x$	$f (x)$	$x$	$f (x)$
$0$	$1$	$2$	$3$
$0, 9$	$1, 9$	$1, 1$	$2, 1$
$0, 99$	$1, 99$	$1, 01$	$2, 01$
$0, 999$	$1, 999$	$1, 001$	$2, 001$

Mueve

x

hacia

1

desde cada lado y mira a qué altura llega la curva. En

x = 1

hay un hueco.

Definición

Límite (idea intuitiva)

Decimos que $lim_{x \to a} f (x) = L$ cuando los valores de $f (x)$ se acercan tanto como queramos a $L$ al tomar $x$ suficientemente cerca de $a$ , por los dos lados, con $x \neq = a$ .

El valor en el punto no importa

El límite describe lo que pasa cerca de $a$ , nunca en $a$ . La función puede no estar definida en $a$ , o valer otra cosa, y el límite sigue siendo el mismo.

Ejemplo

Estimar con una tabla

Estima $lim_{x \to 2} \frac{x ^{2} + x - 6}{x - 2}$ .

1
En $x = 2$ sale $\frac{0}{0}$ , así que la función no está definida ahí. Hacemos tabla.

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Límites laterales

A veces los dos lados no cuentan la misma historia. Por eso conviene mirar cada lado por separado.

$lim_{x \to a^{-}} f (x)$ es el límite por la izquierda: $x$ se acerca a $a$ con valores menores que $a$ .
$lim_{x \to a^{+}} f (x)$ es el límite por la derecha: $x$ se acerca a $a$ con valores mayores que $a$ .

El signo pequeño arriba del número indica el lado. No es un exponente.

Definición

Existencia del límite

El límite existe si y solo si los dos laterales existen y son iguales:

x \to a lim f (x) = L ⟺ x \to a^{-} lim f (x) = x \to a^{+} lim f (x) = L

Ejemplo

Un límite que no existe

Estudia $lim_{x \to 0} \frac{∣ x ∣}{x}$ .

1
Si $x > 0$ , $∣ x ∣ = x$ y la fracción vale $\frac{x}{x} = 1$ . Entonces $lim_{x \to 0^{+}} \frac{∣ x ∣}{x} = 1$ .

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La gráfica de

\frac{∣ x ∣}{x}

salta de

- 1

1

x = 0

Los laterales no se promedian

Si un lado da $- 1$ y el otro da $1$ , el límite no es $0$ . Simplemente no existe. En el parcial se escribe "no existe porque los límites laterales son distintos".

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Leer límites en una gráfica

En el segundo parcial suele aparecer una gráfica con la orden de completar límites. La regla es simple: para un límite recorres la curva con el dedo hacia el punto y miras la altura a la que llegas. Para el valor $f (a)$ buscas el punto relleno sobre $x = a$ . Los puntos huecos indican alturas a las que la curva llega pero que no toma.

Una función con un salto en

x = 1

y un hueco en

x = 3

Pregunta	Respuesta	Por qué
$lim_{x \to 1^{-}} f (x)$	$3$	Por la izquierda la curva sube hasta el hueco en altura $3$
$lim_{x \to 1^{+}} f (x)$	$0$	Por la derecha la curva sale desde la altura $0$
$lim_{x \to 1} f (x)$	No existe	Los laterales son distintos
$f (1)$	$0$	El punto relleno sobre $x = 1$ está en altura $0$
$lim_{x \to 3} f (x)$	$2$	Por los dos lados la curva llega a la altura $2$
$f (3)$	$4$	El punto relleno aislado está en altura $4$

Preguntas al revés

También preguntan " $lim_{x \to ?} f (x) = 2$ ". Ahí buscas en qué $x$ la curva llega, por los dos lados, a la altura $2$ . En la gráfica de arriba la respuesta es $x = 3$ , aunque $f (3)$ valga $4$ .

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Funciones a trozos

En una función a trozos la fórmula cambia en ciertos puntos. Lejos de esos puntos el límite se calcula sustituyendo en la fórmula que corresponde. Justo en el punto de cambio hay que calcular cada lateral con su propia fórmula y compararlos.

Ejemplo

Los laterales coinciden

Sea $f (x) = {x^{2} - 1 2 x - 1 si x < 2 si x \geq 2$ . Calcula $lim_{x \to 2} f (x)$ .

1
Por la izquierda manda $x^{2} - 1$ : $lim_{x \to 2^{-}} f (x) = 2^{2} - 1 = 3$ .

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Ejemplo

Los laterales no coinciden

Sea $g (x) = {x + 1 x^{2} + 3 si x \leq 0 si x > 0$ . Calcula $lim_{x \to 0} g (x)$ .

1
Por la izquierda: $lim_{x \to 0^{-}} g (x) = 0 + 1 = 1$ .

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La gráfica de

g

: el salto en

x = 0

hace que el límite no exista.

Tarifas por tramos

Muchos precios funcionan a trozos. Por ejemplo, una empresa de envíos podría cobrar 5 dólares por paquetes de hasta 2 kg y 8 dólares por paquetes de más de 2 kg. Cerca de 2 kg, el costo por la izquierda tiende a 5 y por la derecha a 8. El límite del costo en 2 kg no existe, y eso es justo lo que se nota como un salto en la tarifa.

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La definición formal

"Acercarse" es una palabra vaga. Para que el límite sea una herramienta precisa hay que decir cuánto es "cerca". La idea es un desafío entre dos personas.

Alguien te exige una tolerancia $ε$ (épsilon), un número positivo pequeño: quiere que $f (x)$ esté a menos de $ε$ de $L$ .
Tú respondes con un margen $δ$ (delta): si $x$ está a menos de $δ$ de $a$ , la exigencia se cumple.

Si siempre puedes responder, para cualquier $ε$ por pequeño que sea, entonces el límite es $L$ .

Definición

Definición ε-δ

Sea $a$ un punto de acumulación del dominio de $f$ .

x \to a lim f (x) = L ⟺ \forall ε > 0, \exists δ > 0 : 0 < ∣ x - a ∣ < δ \Rightarrow ∣ f (x) - L ∣ < ε

El $0 < ∣ x - a ∣$ dice que $x \neq = a$ : otra vez, el valor en el punto no cuenta.

Ejemplo

Demostrar un límite lineal

Demuestra que $lim_{x \to 2} (3 x + 1) = 7$ .

1
Medimos qué tan lejos está $f (x)$ de $7$ : $∣(3 x + 1) - 7 ∣ = ∣ 3 x - 6 ∣ = 3 ∣ x - 2 ∣$ .

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Con

ε = 0, 6

δ = 0, 2

: dentro de la franja azul, la recta queda dentro de la franja naranja.

δ depende de ε

Mientras más exigente es la tolerancia $ε$ , más pequeño tiene que ser $δ$ . En una recta $m x + k$ la cuenta siempre da

δ = \frac{ε}{∣ m ∣}

Así, una recta empinada exige que $x$ esté más cerca.

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El límite es único

Una función no puede acercarse a dos alturas distintas a la vez. Si los valores de $f (x)$ se pegan a $L$ , no pueden pegarse también a otro número $M$ , porque $L$ y $M$ están separados por una distancia fija y $f (x)$ no puede estar muy cerca de los dos al mismo tiempo.

Definición

Teorema de unicidad

Si $lim_{x \to a} f (x) = L$ y también $lim_{x \to a} f (x) = M,$ entonces $L = M$ .

Este teorema es el que justifica el criterio de los laterales. Si por la izquierda la función se acerca a $3$ y por la derecha a $0$ , no hay un único número al que se acerque, y por eso el límite no existe.

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¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.