Módulo 1 · Tema 10 de 10

Funciones en economía

Oferta, demanda, equilibrio de mercado, costo, ingreso y utilidad como funciones.

Al terminar podrás

Plantear funciones lineales de demanda y oferta y hallar el equilibrio de mercado.
Separar el costo fijo del variable y calcular el costo total y el costo promedio.
Construir el ingreso y la utilidad con operaciones entre funciones.
Hallar el punto de equilibrio y la cantidad que maximiza un ingreso o una utilidad cuadráticos.

6 secciones · 15 tipos de ejercicio

Demanda y oferta

Cuando sube el precio de la harina, la gente compra menos harina. Esa observación tan cotidiana es la ley de la demanda, y se escribe como una función: la cantidad demandada $q$ depende del precio $p$ .

La realidad tiene muchos más factores, como el ingreso de las familias o el precio de otros productos. El modelo los deja fijos y se concentra en el precio. Es una simplificación fuerte, pero muestra la tendencia.

Definición

Demanda y oferta lineales

Demanda: $q_{d} = a - b p$ , con $a, b > 0$ . Es decreciente: a mayor precio, menos compras.
Oferta: $q_{s} = c + d p$ , con $d > 0$ . Es creciente: a mayor precio, los productores quieren vender más.

En la demanda, $a$ es lo que se pediría si el bien fuera gratis y $\frac{a}{b}$ es el precio a partir del cual nadie compra.

Ejemplo

Leer una demanda

La demanda de un café en una panadería es $q = 40 - 2 p$ (tazas por hora, precio en miles de bolívares). Interpreta la función.

1
Con $p = 10$ : $q = 40 - 20 = 20$ tazas por hora.

1 de 4

Los economistas dibujan la cantidad en el eje horizontal y el precio en el vertical. Es la convención de Marshall, aunque

q

sea la variable que depende de

p

Los ejes de la economía

En matemática la variable independiente va en el eje horizontal. En economía la demanda se dibuja con el precio en el eje vertical. Por eso a veces verás la demanda escrita al revés, $p = 20 - \frac{q}{2}$ , que es la misma relación despejada para $p$ .

Compruébalo tú

Equilibrio de mercado

Si el precio está muy alto, los productores quieren vender mucho pero la gente compra poco: sobra mercancía. Si está muy bajo, pasa lo contrario y falta. El equilibrio de mercado es el precio en el que la cantidad demandada es igual a la ofrecida, sin excedente ni escasez. En la gráfica es el punto donde se cruzan las dos rectas.

Ejemplo

Hallar el equilibrio

Demanda $q_{d} = 40 - 2 p$ y oferta $q_{s} = 3 p - 10$ . Halla el equilibrio.

1
Igualamos: $40 - 2 p = 3 p - 10$ .

1 de 3

Con

p = 14

se piden 12 tazas pero se ofrecen 32: hay un excedente de 20. Ese sobrante empuja el precio hacia abajo, hacia el equilibrio.

oferta: p = c + d q c = 2, d = 0, 5

precio mínimo de oferta

2

pendiente de la oferta

0, 5

La demanda fija es

p = 20 - q

. Sube

c

, como si aumentaran los costos de producir, y mira cómo el equilibrio se mueve hacia menos cantidad y más precio.

Excedente y escasez

Si $p > p_{e}$ , $q_{s} > q_{d}$ y sobra producto (excedente). Si $p < p_{e}$ , $q_{d} > q_{s}$ y falta producto (escasez). Un precio regulado por debajo del equilibrio produce escasez, que es justo lo que se observa cuando aparecen colas.

Compruébalo tú

Costo fijo, variable, total y promedio

Una panadería paga alquiler aunque un día no hornee ni un pan. Ese es un costo fijo: no depende de cuánto se produce. La harina, en cambio, crece con cada pan: es un costo variable. El costo total junta los dos.

Definición

Funciones de costo

Costo total: $C (q) = C F + C V (q)$ .
En el modelo lineal, el costo variable es el costo por unidad por la cantidad: $C V (q) = c_{v} q$ , así que $C (q) = C F + c_{v} q$ .
Costo promedio: $C (q) = \frac{C ( q )}{q} = \frac{C F}{q} + c_{v}$ .

El dominio con sentido económico es $q \geq 0$ para el costo total y $q > 0$ para el promedio.

Ejemplo

Un taller de costura

Un taller tiene costos fijos de 2.000 bolívares al mes y cada prenda le cuesta 15. Halla $C (q)$ , el costo de 100 prendas y el costo promedio en ese nivel.

1
$C (q) = 2000 + 15 q$ . Es una recta con corte 2000 y pendiente 15.

1 de 4

Costo promedio de

C (q) = 20 + 2 q

. Mientras más se produce, más se reparte el costo fijo y el promedio se acerca al costo por unidad, sin llegar a él.

Producir cero no cuesta cero

$C (0) = C F$ . Aunque no se fabrique nada, el costo fijo se paga. Un error común es escribir $C (q) = c_{v} q$ y olvidar el término fijo.

Compruébalo tú

Ingreso y utilidad

El ingreso es lo que entra por ventas: precio por cantidad, $I (q) = p \cdot q$ . La utilidad (o ganancia) es lo que queda después de pagar los costos: $U (q) = I (q) - C (q)$ . Son operaciones entre funciones, las mismas del tema de composición.

Si el precio es fijo, el ingreso es una recta. Si el precio depende de la cantidad por la demanda, el ingreso se vuelve una parábola.

Ejemplo

Utilidad con precio variable

La demanda es $p = 10 - q$ y el costo es $C (q) = 7 + 2 q$ (cantidades en cientos de unidades, dinero en miles de bolívares). Halla $I (q)$ , $U (q)$ y la utilidad máxima.

1
$I (q) = p \cdot q = (10 - q) q = 10 q - q^{2}$ .

1 de 4

La utilidad es la distancia vertical entre ingreso y costo. Es positiva entre

q = 1

q = 7

, donde el ingreso queda por encima del costo.

El paréntesis al restar

$U (q) = I (q) - C (q)$ resta todo el costo. Con $C (q) = 7 + 2 q$ hay que escribir $- (7 + 2 q) = - 7 - 2 q$ . Olvidar el paréntesis y poner $- 7 + 2 q$ es el error más frecuente.

Compruébalo tú

El punto de equilibrio

Toda empresa quiere saber cuánto tiene que vender para dejar de perder. Ese nivel es el punto de equilibrio: el ingreso alcanza justo para cubrir el costo y la utilidad es cero. Por debajo hay pérdida y por encima hay ganancia.

Definición

Punto de equilibrio

Es la cantidad $q$ que cumple $I (q) = C (q)$ , o lo que es igual, $U (q) = 0$ .

Con precio fijo $p$ y costo $C (q) = C F + c_{v} q$ :

pq = C F + c_{v} q ⟹ q = \frac{C F}{p - c _{v}}

El número $p - c_{v}$ es lo que cada unidad aporta para cubrir el costo fijo. Se llama margen de contribución.

A la izquierda del cruce el costo está por encima del ingreso y hay pérdida. A la derecha hay ganancia.

Ejemplo

Cuántas unidades hay que vender

Un emprendimiento vende cada unidad a 25 bolívares, con costo variable de 15 por unidad y costos fijos de 2.000. Halla el punto de equilibrio.

1
Cada unidad deja $25 - 15 = 10$ para cubrir el costo fijo.

1 de 3

Dos equilibrios distintos

El equilibrio de mercado cruza demanda con oferta y da un precio y una cantidad. El punto de equilibrio de una empresa cruza ingreso con costo y da la cantidad mínima para no perder. Tienen nombres parecidos pero responden preguntas diferentes.

Compruébalo tú

Subir el precio no siempre sube el ingreso

Si un vendedor sube el precio, gana más por cada unidad pero vende menos unidades. El ingreso depende de cuál de los dos efectos pesa más. La guía de la cátedra lo plantea con el ingreso en función del precio: $I (p) = p \cdot q (p)$ . Con demanda lineal sale una parábola que abre hacia abajo, y su vértice es el precio que da el mayor ingreso.

Ejemplo

El precio que maximiza el ingreso

La demanda es $q = 100 - 2 p$ . ¿Qué precio da el mayor ingreso?

1
$I (p) = p (100 - 2 p) = 100 p - 2 p^{2}$ .

1 de 3

Precio $p$	Cantidad $q$	Ingreso $p \cdot q$
$10$	$80$	$800$
$20$	$60$	$1200$
$25$	$50$	$1250$
$30$	$40$	$1200$
$40$	$20$	$800$

Hasta 25, subir el precio sube el ingreso. Después de 25, lo baja. La tabla es simétrica alrededor del vértice.

Lo que viene

Aquí todo se resolvió con el vértice porque las funciones eran cuadráticas. Cuando el costo o la demanda tengan otra forma, la herramienta será la derivada, y la sensibilidad de la demanda al precio se medirá con la elasticidad.

Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.