Módulo 1 · Tema 9 de 10

Función inversa

Cuándo existe la inversa, cómo despejarla y cómo se relacionan su dominio, rango y gráfica.

Al terminar podrás

Saber cuándo una función admite inversa y restringirla si hace falta.
Hallar la regla de la inversa despejando.
Definir $f^{- 1} : B \to A$ completa, con dominio y rango intercambiados.
Relacionar las gráficas de $f$ y $f^{- 1}$ con la recta $y = x$ , y comprobar una inversa con la composición.

6 secciones · 15 tipos de ejercicio

Deshacer lo que hace una función

Una función toma un $x$ y devuelve un $y$ . La inversa hace el camino de regreso: recibe el $y$ y te dice de qué $x$ salió. Si $f$ multiplica por $2$ y suma $3$ , su inversa resta $3$ y divide entre $2$ , en ese orden.

x

4

Entra

4

→

f (x) = 2 x + 3

11

→

f^{- 1} (x) = \frac{x - 3}{2}

4

El resultado final es $f^{- 1} (f (4)) = 4$ .

Lo que entra a

f

sale intacto después de pasar por

f^{- 1}

En pares ordenados, invertir es voltear cada par: si $(x, y) \in f$ , entonces $(y, x) \in f^{- 1}$ . Eso siempre produce una relación. La pregunta es si esa relación vuelve a ser función.

Es función: cada elemento de $A$ tiene exactamente una imagen.
No es inyectiva: algún elemento de $B$ recibe dos o más flechas.
No es sobreyectiva: algún elemento de $B$ no recibe flechas.

Si volteas las flechas, la

a

tendría dos imágenes y la

b

ninguna. La relación inversa no es función.

Definición

Existencia de la inversa

Para que la relación inversa de $f : A \to B$ sea función de $B$ en $A$ hacen falta dos cosas:

Todo elemento de $B$ tiene que tener a dónde ir: $f$ sobreyectiva.
Esa imagen tiene que ser única: $f$ inyectiva.

Así, $f$ admite inversa si y solo si $f$ es biyectiva. En ese caso

f^{- 1} : B \to A x = f^{- 1} (y) ⟺ y = f (x)

El −1 no es un exponente

$f^{- 1} (x)$ es la función inversa, no $\frac{1}{f ( x )}$ . Con $f (x) = 2 x + 3$ , la inversa es $\frac{x - 3}{2}$ , mientras que $\frac{1}{2 x + 3}$ es otra cosa.

Compruébalo tú

Cómo hallar la regla de la inversa

La receta tiene tres pasos:

Escribe $y = f (x)$ .
Despeja $x$ en función de $y$ .
Cambia los nombres: la variable independiente vuelve a llamarse $x$ . Ese resultado es $f^{- 1} (x)$ .

Ejemplo

Una función lineal

Halla la inversa de $f : R \to R / y = 3 x - 6$ .

1
$y = 3 x - 6$ , así que $3 x = y + 6$ .

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Ejemplo

Un cociente (reparación)

Sea $f : D \subseteq R \to R$ con $f (x) = \frac{1}{1 - x}$ . Haz las restricciones para que admita inversa y halla $f^{- 1}$ con su dominio y su rango.

1
Dominio: $1 - x \neq = 0$ , así que $D = R - {1}$ .

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Compruébalo tú

Dominio y rango se intercambian

Como la inversa voltea los pares, lo que eran entradas pasan a ser salidas y al revés:

Dom f^{- 1} = Ran f Ran f^{- 1} = Dom f

Esto es lo que permite "definir la función inversa" completa en el parcial: no basta con la regla, hay que escribir $f^{- 1} : B \to A / y = f^{- 1} (x)$ .

Ejemplo

Una raíz (parcial)

Define la función inversa de $f (x) = x + 1$ .

1
Dominio de $f$ : $x + 1 \geq 0$ , así que $[- 1, + \infty)$ . Rango: $[0, + \infty)$ , porque la raíz nunca es negativa.

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La inversa es solo la mitad derecha de la parábola

x^{2} - 1

. La otra mitad no corresponde a ningún punto de

f

La restricción no es un adorno

La regla $x^{2} - 1$ por sí sola define una parábola completa, que no es inyectiva. Lo que la convierte en la inversa de $x + 1$ es el dominio $[0, + \infty)$ . Si lo olvidas, la respuesta está incompleta.

Ejemplo

Un logaritmo (parcial)

Define la inversa de $g (x) = ln (x - 4)$ .

1
Dominio: $x - 4 > 0$ , así que $(4, + \infty)$ . El logaritmo toma todos los valores reales: rango $R$ .

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Compruébalo tú

La gráfica: un espejo en la recta y = x

Si el punto $(a, b)$ está en la gráfica de $f$ , el punto $(b, a)$ está en la de $f^{- 1}$ . Intercambiar las coordenadas es reflejar el punto respecto de la recta $y = x$ . Por eso la gráfica de la inversa es el reflejo de la gráfica de $f$ en ese espejo.

e^{x}

ln x

son inversas: una es el reflejo de la otra. El punto

(0, 1)

de la exponencial se convierte en el

(1, 0)

del logaritmo.

Función	Inversa	Dominio de la inversa
$e^{x} : R \to (0, + \infty)$	$ln x$	$(0, + \infty)$
$ln x : (0, + \infty) \to R$	$e^{x}$	$R$
$x^{3} : R \to R$	$3 x$	$R$
$x^{2} : [0, + \infty) \to [0, + \infty)$	$x$	$[0, + \infty)$
$a^{x} : R \to (0, + \infty)$	$lo g_{a} x$	$(0, + \infty)$

Compruébalo tú

La composición devuelve la identidad

Aplicar $f$ y después $f^{- 1}$ te deja donde empezaste. Lo mismo al revés. Eso da una forma de comprobar que una inversa está bien calculada.

Definición

Propiedades de la inversa

Si $f : A \to B$ es biyectiva:

(f^{- 1} \circ f) (x) = x \forall x \in A (f \circ f^{- 1}) (y) = y \forall y \in B

Es decir, $f^{- 1} \circ f = i_{A}$ y $f \circ f^{- 1} = i_{B}$ , las funciones identidad de cada conjunto.

Ejemplo

Comprobar una inversa

Comprueba que $g (x) = \frac{x + 6}{3}$ es la inversa de $f (x) = 3 x - 6$ .

1
$(f \circ g) (x) = 3 \cdot \frac{x + 6}{3} - 6 = x + 6 - 6 = x$ .

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La demanda inversa

Una demanda $q = 100 - 2 p$ dice cuánto se compra a cada precio. Su inversa, $p = 50 - \frac{q}{2}$ , dice qué precio hace falta para vender una cantidad dada. En economía se le llama demanda inversa, y es la forma en que suelen graficarse oferta y demanda, con el precio en el eje vertical.

Compruébalo tú

Inversa de una parábola restringida

Las parábolas son el caso típico del parcial: en $R$ no tienen inversa, pero restringidas a un lado del vértice sí. El cuidado está en el despeje: al sacar raíz aparecen dos signos, y el dominio escogido decide cuál se queda.

Ejemplo

Restringir y despejar

Sea $f : R \to R / y = x^{2} - 4 x + 1$ . Restríngela para que tenga inversa y define $f^{- 1}$ .

1
Completamos el cuadrado: $f (x) = (x - 2)^{2} - 3$ . Vértice $(2, - 3)$ .

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La rama derecha de la parábola y su inversa, reflejadas en la recta

y = x

El signo de la raíz

Si hubieras escogido el dominio $(- \infty, 2]$ , entonces $x - 2 \leq 0$ y la inversa sería $2 - x + 3$ . Escribir $\pm$ en la respuesta está mal: una función no puede dar dos valores.

Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.