Módulo 1 · Tema 8 de 10

Operaciones y composición

Sumar, multiplicar y dividir funciones, y componerlas cuidando el dominio de la compuesta.

Al terminar podrás

Sumar, restar, multiplicar y dividir funciones y hallar el dominio de cada resultado.
Calcular $f \circ g$ y $g \circ f$ , evaluarlas y comprobar que el orden importa.
Hallar el dominio de una compuesta con la condición $x \in Dom g$ y $g (x) \in Dom f$ .
Descomponer una función complicada en dos funciones más simples.

5 secciones · 12 tipos de ejercicio

Sumar, restar, multiplicar y dividir funciones

Si una empresa tiene un ingreso $I (q)$ y un costo $C (q)$ , su utilidad es $U (q) = I (q) - C (q)$ . Acabas de restar dos funciones. La idea es simple: para cada $x$ se calculan las dos imágenes y se opera con esos números.

El único cuidado es el dominio. Si en algún $x$ una de las dos funciones no existe, no hay nada que operar.

Definición

Operaciones con funciones

Sean $f$ y $g$ con dominios $Dom f$ y $Dom g$ .

$(f + g) (x) = f (x) + g (x)$ y $(f - g) (x) = f (x) - g (x)$ , con dominio $Dom f \cap Dom g$ .
$(f \cdot g) (x) = f (x) \cdot g (x)$ , con dominio $Dom f \cap Dom g$ .
$(\frac{f}{g}) (x) = \frac{f ( x )}{g ( x )}$ , con dominio $(Dom f \cap Dom g) - {x / g (x) = 0}$ .

Ejemplo

El ejemplo de la guía

Sean $f (x) = x^{2} - 4$ y $g (x) = lo g (x - 3)$ . Halla los dominios de $f + g$ y de $\frac{f}{g}$ .

1
$Dom f$ : $x^{2} - 4 \geq 0$ , que da $(- \infty, - 2] \cup [2, + \infty)$ .

1 de 4

Propiedad	Se escribe
Conmutativa de la suma	$f + g = g + f$
Conmutativa del producto	$f \cdot g = g \cdot f$
Asociativa de la suma	$(f + g) + h = f + (g + h)$
Asociativa del producto	$(f \cdot g) \cdot h = f \cdot (g \cdot h)$
Distributiva	$f \cdot (g + h) = f \cdot g + f \cdot h$

Se heredan de las propiedades de los números reales, porque se opera imagen por imagen.

Simplificar no devuelve el dominio

Con $f (x) = x^{2} - 1$ y $g (x) = x - 1$ , el cociente es $\frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ . Se puede simplificar a $x + 1$ , pero el dominio sigue siendo $R - {1}$ . El dominio se calcula antes de simplificar.

Ingreso como producto

Si la demanda es $q (p) = 100 - 2 p$ , el ingreso es precio por cantidad: $I (p) = p \cdot q (p) = p (100 - 2 p)$ . Es el producto de la identidad $p$ por la función de demanda. La guía de la cátedra construye así el ingreso y la utilidad.

Compruébalo tú

Componer funciones

Componer es encadenar. Imagina dos máquinas en fila: metes $x$ en la primera, lo que sale entra en la segunda y obtienes el resultado final. Si la primera máquina es $g$ y la segunda es $f$ , el resultado es $f (g (x))$ .

Definición

Función compuesta

(f \circ g) (x) = f (g (x))

Se lee " $f$ compuesta con $g$ ". Aunque $f$ se escribe primero, la que actúa primero es $g$ , la de la derecha.

x

2

Entra

2

→

g (x) = x + 1

3

→

f (x) = x^{2}

9

El resultado final es $f (g (2)) = 9$ .

Entra

x = 2

g

lo convierte en

3

f

lo convierte en

9

. Eso es

(f \circ g) (2) = 9

Ejemplo

Las dos compuestas

Sean $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x + 3$ . Halla $f \circ g$ y $g \circ f$ , y evalúa las dos en $x = 1$ .

1
$(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (x + 3) = (x + 3)^{2}$ .

1 de 3

Componer no es multiplicar

$(f \circ g) (x)$ no es $f (x) \cdot g (x)$ . En el ejemplo, $f (x) \cdot g (x) = x^{2} (x + 3)$ , que no se parece a $(x + 3)^{2}$ . El circulito $\circ$ significa "meter una dentro de la otra".

Compruébalo tú

El dominio de la compuesta

En la cadena de máquinas puede pasar que la primera funcione bien y entregue un número que la segunda no acepta. Por ejemplo, si $g (x) = x - 4$ y $f (x) = x$ , al meter $x = 3$ la primera da $- 1$ y la raíz se atasca. Ese $x = 3$ no está en el dominio de $f \circ g$ .

x

6

Entra

6

→

g (x) = x - 4

2

→

f (x) = x

1, 414

El resultado final es $f (g (6)) = 1, 414$ .

Prueba con varias entradas. Solo pasan las que hacen

x - 4 \geq 0

Definición

Dominio de la compuesta

Dom (f \circ g) = {x \in Dom g / g (x) \in Dom f}

Son dos condiciones: que $g$ acepte a $x$ , y que $f$ acepte lo que sale de $g$ .

Ejemplo

Pregunta del parcial de 2015

Dadas $f (x) = ln (x - e)$ y $g (x) = x - 1$ , define $g \circ f$ .

1
Regla: $(g \circ f) (x) = g (f (x)) = ln (x - e) - 1$ .

1 de 5

Ejemplo

La versión B del mismo parcial

Dadas $f (x) = x + 1$ y $g (x) = ln (x - 4)$ , define $g \circ f$ .

1
Regla: $(g \circ f) (x) = ln (x + 1 - 4)$ .

1 de 3

No calcules el dominio con la fórmula simplificada

Con $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x$ , la compuesta es $(f \circ g) (x) = (x)^{2} = x$ . La fórmula final parece aceptar cualquier $x$ , pero $g$ solo acepta $x \geq 0$ . El dominio es $[0, + \infty)$ , no $R$ .

Compruébalo tú

Propiedades de la composición

La composición se porta distinto a la suma y al producto. Tiene dos propiedades que debes saber justificar, porque salen como verdadero o falso en los parciales.

Propiedad	¿Se cumple?
Conmutativa: $f \circ g = g \circ f$	No. Con $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x + 3$ salen $(x + 3)^{2}$ y $x^{2} + 3$
Asociativa: $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$	Sí. Los dos lados son $h (g (f (x)))$
Identidad: $f \circ i = i \circ f = f$	Sí. $i (x) = x$ no cambia nada

Inyectividad y composición

Si $f$ y $g$ son inyectivas, $g \circ f$ también lo es. Lo mismo pasa con sobreyectiva y biyectiva. Esto se usa en el tema de función inversa.

Ejemplo

Pregunta de un examen de reparación

Sea $f (x) = \frac{1}{1 - x}$ . Demuestra que $[f \circ (f \circ f)] (x) = x$ .

1
Primero $f \circ f$ : $f (f (x)) = \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - x}}$ . Con común denominador abajo, $1 - \frac{1}{1 - x} = \frac{1 - x - 1}{1 - x} = \frac{- x}{1 - x}$ .

1 de 3

Compruébalo tú

Descomponer una función

A veces conviene hacer el camino inverso: ver una función complicada como dos sencillas encadenadas. Esto es lo que vas a usar al derivar con la regla de la cadena.

El truco es pensar como una calculadora. Para calcular $h (x) = 3 x^{2} + 1$ con un número, primero harías $3 x^{2} + 1$ y al final sacarías la raíz. Lo que haces primero es la función de adentro, $g$ , y lo último es la de afuera, $f$ .

Ejemplo

Encontrar la de adentro y la de afuera

Escribe $h (x) = (2 x - 5)^{7}$ y $k (x) = e^{x^{2}}$ como $f \circ g$ .

1
En $h$ primero se calcula $2 x - 5$ y luego se eleva a la 7. Entonces $g (x) = 2 x - 5$ y $f (x) = x^{7}$ .

1 de 2

Composición en economía

Si el costo depende de la producción, $C (q) = 200 + 5 q$ , y la producción depende de los días trabajados, $q (t) = 40 t$ , el costo en función de los días es $C (q (t)) = 200 + 5 \cdot 40 t = 200 + 200 t$ . Es una compuesta: de días a unidades y de unidades a bolívares.

Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.