Módulo 1 · Tema 7 de 10

Paridad, monotonía y extremos

Funciones pares e impares, crecientes y decrecientes, acotadas, y sus máximos y mínimos.

Al terminar podrás

Decidir si una función es par, impar o ninguna, con álgebra y mirando la gráfica.
Dar los intervalos donde una función crece o decrece.
Reconocer si una función es acotada y escribir una cota.
Hallar los valores máximo y mínimo absolutos de una función en su dominio.

5 secciones · 11 tipos de ejercicio

Funciones pares e impares

Algunas gráficas se ven iguales en un espejo. La de $y = x^{2}$ , por ejemplo, tiene la mitad izquierda idéntica a la derecha: $(- 3)^{2}$ y $3^{2}$ dan lo mismo. Otras, como $y = x^{3}$ , se repiten pero volteadas: $(- 2)^{3} = - 8$ es justo el opuesto de $2^{3} = 8$ .

Esas dos simetrías tienen nombre.

Definición

Par e impar

Sea $f$ con un dominio simétrico (si $x$ está, $- x$ también).

$f$ es par si $f (- x) = f (x)$ para todo $x$ del dominio. Su gráfica es simétrica respecto al eje $y$ .
$f$ es impar si $f (- x) = - f (x)$ para todo $x$ del dominio. Su gráfica es simétrica respecto al origen: si giras la gráfica media vuelta, queda igual.

En la par,

x = 2

x = - 2

tienen la misma altura. En la impar tienen alturas opuestas y el segmento que los une pasa por el origen.

Ejemplo

Tres casos

Clasifica $f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$ , $g (x) = x^{3} - 5 x$ y $h (x) = x^{2} + x$ .

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$f (- x) = (- x)^{4} - 3 (- x)^{2} = x^{4} - 3 x^{2} = f (x)$ . Es par.

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Atajo para polinomios

Si un polinomio solo tiene potencias pares (la constante cuenta como $x^{0}$ ), es par. Si solo tiene potencias impares, es impar. Si mezcla, no es ninguna.

Primero el dominio

$x$ no es par ni impar, porque en $x = 4$ existe y en $x = - 4$ no. Lo mismo pasa con $x^{2}$ definida solo en $[- 1, 3]$ : aunque la fórmula sea par, el dominio no es simétrico. La mayoría de las funciones no son ni pares ni impares.

Compruébalo tú

Crecimiento y decrecimiento

Leer una gráfica de izquierda a derecha es como caminar por un cerro. En unos tramos subes y en otros bajas. Que una función sea creciente en un intervalo quiere decir que, dentro de ese intervalo, cada paso a la derecha te deja más alto.

Definición

Creciente y decreciente

Sea $I$ un intervalo dentro del dominio de $f$ .

$f$ es creciente en $I$ si para todo $a < b$ en $I$ se cumple $f (a) < f (b)$ .
$f$ es decreciente en $I$ si para todo $a < b$ en $I$ se cumple $f (a) > f (b)$ .

Con $\leq$ en lugar de $<$ se habla de no decreciente, y con $\geq$ de no creciente. Una función que hace una sola de esas cosas en $I$ es monótona en $I$ .

f (x) = x^{3} - 3 x

crece en

(- \infty, - 1)

, decrece en

(- 1, 1)

y vuelve a crecer en

(1, + \infty)

Cómo se escriben los intervalos

Los intervalos de crecimiento se leen en el eje $x$ , no en el $y$ . La guía de la cátedra los escribe abiertos, como $(- 1, 1)$ , y así los vamos a escribir aquí.

Ejemplo

Monotonía de una parábola

¿Dónde crece y dónde decrece $f (x) = - x^{2} + 6 x - 5$ ?

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Vértice: $x_{v} = - \frac{6}{2 ( - 1 )} = 3$ .

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Demanda y oferta

La ley de la demanda dice que, si el precio sube, la cantidad demandada baja: la demanda es una función decreciente del precio. La oferta suele ser creciente, porque a mejor precio los productores quieren vender más. Muchos textos de economía dicen "estrictamente creciente" para lo que aquí llamamos creciente.

Compruébalo tú

Funciones acotadas

Hay funciones que, por más que cambie $x$ , nunca pasan de cierta altura. Es como un techo. Otras nunca bajan de un piso. Esa idea es la acotación, y se lee directo en el rango.

Definición

Cotas

$f$ es acotada superiormente si existe un número $u$ con $f (x) \leq u$ para todo $x$ del dominio. Ese $u$ es una cota superior.
$f$ es acotada inferiormente si existe $l$ con $f (x) \geq l$ para todo $x$ .
$f$ es acotada si cumple las dos cosas, o sea, si su rango es un conjunto acotado.

f (x) = \frac{2}{x ^{2} + 1}

es acotada: su rango es

(0, 2]

. Alcanza el techo en

x = 0

pero nunca toca el piso.

Ejemplo

Leer las cotas en el rango

Clasifica $f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 4 - x^{2}$ y $h (x) = x^{3}$ según la acotación.

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$Ran f = (0, + \infty)$ . Tiene piso en 0 pero no techo: solo es acotada inferiormente.

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La cota no tiene que alcanzarse

$e^{x}$ es acotada inferiormente por 0 aunque nunca valga 0. Cualquier número menor, como $- 5$ , también es una cota inferior. Acotada no significa que tenga mínimo.

Compruébalo tú

Máximos y mínimos absolutos

Cuando el techo sí se toca, se habla de máximo. El valor máximo de una función es la mayor altura que alcanza en todo su dominio. Hay que separar dos cosas que se confunden mucho: el valor máximo es una altura $f (a)$ , y el lugar donde se alcanza es un $x = a$ .

Definición

Máximo y mínimo absolutos

$f$ tiene un máximo en $a$ si $f (x) \leq f (a)$ para todo $x$ del dominio. El número $f (a)$ es el valor máximo, el mayor elemento de $Ran f$ .
$f$ tiene un mínimo en $b$ si $f (x) \geq f (b)$ para todo $x$ del dominio. El número $f (b)$ es el valor mínimo.

Una función puede alcanzar su máximo en varios puntos, pero el valor máximo es uno solo.

Ejemplo

Extremos en un intervalo cerrado

Halla los extremos de $f (x) = x^{2} - 2 x$ en $[- 1, 2]$ .

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Vértice: $x_{v} = 1$ , que está dentro del intervalo. $f (1) = - 1$ .

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Sin bordes puede no haber extremos

$f (x) = x^{2}$ en $(0, 2)$ no tiene ni máximo ni mínimo. Se acerca a 0 y a 4, pero los bordes no están en el dominio. Por eso en los ejercicios importa tanto si el intervalo es abierto o cerrado.

Por qué importa en economía

Buena parte de la economía consiste en buscar extremos: el nivel de producción que da la mayor utilidad o el que da el menor costo promedio. Con parábolas se resuelve con el vértice. Más adelante, con derivadas, se resuelve para cualquier función.

Compruébalo tú

Resumen de las funciones de uso frecuente

Con estas cuatro propiedades se puede describir cada función básica del tema anterior. La tabla resume la clasificación que hace la guía de la cátedra. Practica justificar cada casilla con la gráfica.

Función	Paridad	Monotonía	Acotación	Extremos
$C$ (constante)	Par	Ni crece ni decrece (es no decreciente)	Acotada	$C$ es máximo y mínimo
$m x + b$ , $m > 0$	Impar solo si $b = 0$	Creciente	No acotada	Ninguno
$a x^{2} + b x + c$ , $a > 0$	Par solo si $b = 0$	Decrece y luego crece	Solo inferiormente	Mínimo en el vértice
$a x^{3}$ , $a > 0$	Impar	Creciente	No acotada	Ninguno
$∣ x ∣$	Par	Decrece en $(- \infty, 0)$ , crece en $(0, + \infty)$	Solo inferiormente	Mínimo 0 en $x = 0$
$\frac{1}{x}$	Impar	Decrece en $(- \infty, 0)$ y en $(0, + \infty)$	No acotada	Ninguno
$x$	Ninguna	Creciente	Solo inferiormente	Mínimo 0 en $x = 0$
$3 x$	Impar	Creciente	No acotada	Ninguno
$a^{x}$ , $a > 1$	Ninguna	Creciente	Solo inferiormente	Ninguno
$lo g_{a} x$ , $a > 1$	Ninguna	Creciente	No acotada	Ninguno

La trampa de 1/x

$\frac{1}{x}$ es decreciente en $(- \infty, 0)$ y también en $(0, + \infty)$ , pero no es decreciente en su dominio completo: $f (- 1) = - 1 < f (1) = 1$ . Por eso se dan los dos intervalos por separado y no su unión.

Ejemplo

Describir una función completa

Describe $f (x) = 2 - ∣ x ∣$ .

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$f (- x) = 2 - ∣ - x ∣ = 2 - ∣ x ∣ = f (x)$ . Es par.

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¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.