Módulo 1 · Tema 6 de 10

Gráficas, transformaciones y funciones a trozos

Trasladar, reflejar y estirar gráficas, y graficar funciones definidas por partes para hallar su rango.

Al terminar podrás

Obtener la gráfica de $f (x - h) + k$ , $- f (x)$ , $f (- x)$ y $a f (x)$ a partir de la gráfica de $f$ .
Dibujar $∣ f (x)∣$ reflejando hacia arriba la parte negativa.
Graficar funciones a trozos con sus puntos abiertos y cerrados.
Leer el dominio y el rango de una gráfica, incluidas las funciones a trozos del parcial.

6 secciones · 15 tipos de ejercicio

Traslaciones

No hace falta una tabla de valores para dibujar $y = x + 2 - 1$ . Basta con saber cómo es $y = x$ y moverla. Las funciones del tema anterior son las piezas, y las transformaciones son las instrucciones para colocarlas.

Hay dos movimientos básicos. Si sumas una constante afuera, $f (x) + k$ , cada altura cambia en $k$ y la gráfica sube o baja. Si la sumas adentro, $f (x - h)$ , la gráfica se corre hacia los lados.

Definición

Traslación

Con $h$ y $k$ positivos:

$f (x) + k$ sube la gráfica $k$ unidades. $f (x) - k$ la baja.
$f (x - h)$ la mueve $h$ unidades a la derecha. $f (x + h)$ la mueve a la izquierda.

y = x - h + k h = - 2, k = - 1

h

- 2

k

- 1

La curva punteada es

y = x

. El punto donde arranca la raíz se mueve a

(h, k)

El signo de adentro engaña

$f (x - 3)$ mueve la gráfica a la derecha, aunque haya un signo menos. La razón: para obtener la salida que $f$ daba en $x = 0$ , ahora hay que meter $x = 3$ . Todo ocurre tres unidades más tarde.

Ejemplo

Graficar sin tabla

Dibuja $g (x) = x + 2 - 1$ y halla su dominio y su rango.

1
Partimos de $y = x$ , que arranca en $(0, 0)$ y sube hacia la derecha.

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Compruébalo tú

Reflexiones

Un signo menos también mueve la gráfica, pero como un espejo. Depende de dónde se ponga:

$- f (x)$ cambia el signo de cada salida. Lo que estaba arriba pasa abajo: es un reflejo sobre el eje $x$ .
$f (- x)$ cambia el signo de cada entrada. Lo que estaba a la derecha pasa a la izquierda: es un reflejo sobre el eje $y$ .

- e^{x}

refleja sobre el eje

x

e^{- x}

refleja sobre el eje

y

Ejemplo

Dominio y rango de un reflejo

Halla dominio y rango de $g (x) = - x$ y de $h (x) = - x$ .

1
$g$ refleja $x$ sobre el eje $x$ . El dominio no cambia, $[0, + \infty)$ . Las alturas cambian de signo: el rango pasa a $(- \infty, 0]$ .

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Qué cambia con cada reflejo

$- f (x)$ cambia el rango y deja el dominio. $f (- x)$ cambia el dominio y deja el rango.

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Estiramientos y el orden de los pasos

Multiplicar la función por un número $a$ multiplica cada altura. Si $∣ a ∣ > 1$ la gráfica se estira en vertical y se ve más cerrada. Si $0 < ∣ a ∣ < 1$ se aplasta y se ve más abierta. Si $a$ es negativo, además se refleja.

y = a ∣ x ∣ a = 2

a

2

Con

a = 2

la V se cierra, con

a = 0, 5

se abre y con

a

negativo se voltea.

Para una fórmula como $y = a f (x - h) + k$ conviene seguir este orden: primero el movimiento horizontal, después el estiramiento o la reflexión y al final el movimiento vertical. El punto clave de la gráfica base, el que estaba en el origen, termina en $(h, k)$ .

Ejemplo

Tres transformaciones

Describe la gráfica de $y = - 2 (x - 1)^{2} + 3$ a partir de $y = x^{2}$ .

1
$(x - 1)^{2}$ : la parábola se mueve 1 unidad a la derecha. Vértice en $(1, 0)$ .

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La gráfica de |f(x)|

Poner toda la función dentro de un valor absoluto, $y = ∣ f (x)∣$ , tiene un efecto muy concreto. Donde $f (x) \geq 0$ nada cambia. Donde $f (x) < 0$ la gráfica se refleja hacia arriba, como si el eje $x$ fuera un espejo que no deja pasar nada por debajo.

Entre

- 2

2

la parábola estaba por debajo del eje. El valor absoluto la sube y forma una joroba.

Ejemplo

Una función del primer parcial

Escribe $f (x) = ∣ x ∣ - x$ sin valor absoluto y halla su rango.

1
Si $x \geq 0$ , $∣ x ∣ = x$ y queda $f (x) = x - x = 0$ .

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$∣ f (x)∣$ no es lo mismo que $f (∣ x ∣)$

En $∣ f (x)∣$ el valor absoluto actúa sobre la salida y refleja hacia arriba. En $f (∣ x ∣)$ actúa sobre la entrada: la mitad derecha de la gráfica se copia en la izquierda.

Compruébalo tú

Funciones a trozos

Una función a trozos usa reglas distintas según dónde caiga $x$ . Pasa mucho en economía: una tarifa eléctrica cobra un precio por los primeros kilovatios y otro precio a partir de cierto consumo.

Para graficarla se dibuja cada rama solo en su tramo. En los puntos de corte importa el detalle: si la condición incluye el número ( $\leq$ o $\geq$ ) el extremo va relleno, y si no lo incluye ( $<$ o $>$ ) va hueco.

Ejemplo

Graficar y hallar el rango

Grafica la función

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x + 4 x^{2} - 2 3 si x < - 2 si - 2 \leq x \leq 1 si x > 1

y halla su rango.

1
Rama 1, la recta $x + 4$ para $x < - 2$ . En $x = - 2$ llegaría a $2$ , pero ese punto no es suyo: hueco en $(- 2, 2)$ . Hacia la izquierda baja sin límite. Aporta $(- \infty, 2)$ .

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Cada color es una rama. En

x = 1

hay un salto: el punto relleno es de la parábola y el hueco es de la constante.

Ejemplo

La función del parcial de 2015

Grafica la función

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x^{2} + 1 - ∣ x + 3∣ lo g x x - 1 + 2 si - 5 \leq x < - 3 si - 3 \leq x < 0 si 0 < x \leq 1 si 1 < x \leq 5

y determina su rango.

1
$x^{2} + 1$ en $[- 5, - 3)$ : para negativos la parábola baja al acercarse a 0. Vale $26$ en $- 5$ (relleno) y $10$ en $- 3$ (hueco). Aporta $(10, 26]$ .

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Errores que cuestan puntos

Dibujar una rama fuera de su tramo, por ejemplo la parábola completa en lugar del pedazo que le toca. Y olvidar los huecos: si un extremo es hueco, ese valor solo entra al rango si otra rama lo alcanza.

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Leer dominio y rango en una gráfica

Con la gráfica en la mano, el dominio y el rango se leen como sombras. El dominio es la sombra de la gráfica sobre el eje $x$ , como si una luz la alumbrara desde arriba. El rango es la sombra sobre el eje $y$ , con la luz desde un costado.

Los huecos solo quitan un valor si ningún otro punto de la gráfica lo tapa.

Ejemplo

Leer la gráfica de arriba

Halla el dominio y el rango de la función graficada.

1
Sombra en el eje $x$ : la gráfica va desde $x = - 1$ (relleno) hasta $x = 5$ (relleno), sin cortes. Dominio $[- 1, 5]$ .

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¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.