Funciones de uso frecuente

Casi todas las funciones del curso se arman con un puñado de piezas básicas. Si reconoces la forma de cada pieza, vas a poder dibujar funciones mucho más complicadas sin tabla de valores.

La más sencilla es la función constante $f(x)=C$. Da lo mismo qué $x$ metas, la salida siempre es $C$. Su gráfica es una recta horizontal a la altura $C$. Corta al eje $y$ en $(0,C)$ y no corta al eje $x$, salvo que $C=0$.

Cuando la $x$ aparece elevada al cuadrado, la gráfica deja de ser recta y se vuelve una parábola. Piensa en el chorro de una manguera: sube, llega a un punto más alto y baja de forma simétrica. Ese punto de giro se llama vértice.

La función cúbica $f(x)=a{x}^3$ se parece a la recta en que toma todos los valores reales, pero se dobla. Con $a>0$ viene de abajo, se aplana al pasar por el origen y sigue subiendo. Con $a<0$ hace lo mismo al revés.

A diferencia de $x^2$, el cubo respeta el signo: $(-2{)}^3=-8$. Por eso la gráfica tiene una mitad debajo del eje $x$.

El valor absoluto mide la distancia de un número al cero, sin importar el lado. Por eso $|-5|=5$ y $|5|=5$. Como función se escribe a trozos:

A la derecha del cero copia la recta $y=x$. A la izquierda le cambia el signo a los negativos y los vuelve positivos. El resultado es una V con la punta en el origen.

La función $f(x)=\frac{1}{x}$ responde a otra idea: mientras más grande es $x$, más pequeño es $\frac{1}{x}$, y al revés. No existe en $x=0$ porque no se divide entre cero. Cerca del cero se dispara hacia $+\infty$ por la derecha y hacia $-\infty$ por la izquierda. Lejos del cero se pega al eje $x$ sin tocarlo. Su gráfica se llama hipérbola y los ejes son sus asíntotas.

La raíz cuadrada $\sqrt{x}$ responde a qué número positivo elevado al cuadrado da $x$. Como ningún real al cuadrado da negativo, solo existe para $x\ge 0$. Su gráfica es media parábola acostada: sale del origen y crece cada vez más lento.

La raíz cúbica $\sqrt[3]{x}$ no tiene ese problema, porque los cubos sí pueden ser negativos: $\sqrt[3]{-8}=-2$. Existe en todo $\mathbb{R}$.

En la función exponencial $f(x)=a^x$ la variable está en el exponente. La base $a$ es un número positivo distinto de 1. Lo que la distingue es que crece (o decrece) multiplicando: con $a=2$, cada paso de una unidad en $x$ duplica la salida.

Hay dos datos que no cambian con la base. Siempre pasa por $(0,1)$, porque $a^0=1$. Y nunca toca el eje $x$, porque una potencia de base positiva nunca da cero ni negativo.

La función logarítmica $f(x)={\log }_{a}x$ hace el trabajo contrario: responde a qué exponente hay que elevar $a$ para obtener $x$. Por ejemplo ${\log }_{2}8=3$ porque $2^3=8$. Como $a^y$ siempre es positivo, solo existen logaritmos de números positivos.

Su gráfica es la de la exponencial reflejada sobre la recta $y=x$. Pasa por $(1,0)$ y tiene el eje $y$ como asíntota vertical. Cuando la base es $e\approx 2,718$ se escribe $\ln x$ y se llama logaritmo natural.