Módulo 1 · Tema 4 de 10

Inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

Clasificar funciones y restringirlas para que sean biyectivas sin cambiar su regla.

Al terminar podrás

Decidir si una función es inyectiva con la prueba de la recta horizontal y con $f (a) = f (b) \Rightarrow a = b$ .
Decidir si es sobreyectiva comparando el rango con el conjunto de llegada.
Reconocer las funciones biyectivas.
Restringir dominio y conjunto de llegada, sin cambiar la regla, para obtener una biyección y definirla.

5 secciones · 11 tipos de ejercicio

Tres preguntas sobre las flechas

Ya sabes que en una función de cada elemento de $A$ sale exactamente una flecha. Ahora la atención pasa al conjunto de llegada $B$ , y hay dos preguntas nuevas:

¿Algún elemento de $B$ recibe dos o más flechas? Si nunca pasa, la función es inyectiva.
¿Algún elemento de $B$ se queda sin flecha? Si nunca pasa, la función es sobreyectiva.

Si se cumplen las dos cosas, cada elemento de $B$ recibe exactamente una flecha, y la función es biyectiva.

Es función: cada elemento de $A$ tiene exactamente una imagen.
Inyectiva: ningún elemento de $B$ recibe dos flechas.
No es sobreyectiva: algún elemento de $B$ no recibe flechas.

Inyectiva, no sobreyectiva: nadie comparte imagen, pero la

b

queda libre.

Es función: cada elemento de $A$ tiene exactamente una imagen.
No es inyectiva: algún elemento de $B$ recibe dos o más flechas.
Sobreyectiva: todo elemento de $B$ recibe al menos una flecha.

Sobreyectiva, no inyectiva: todo

B

se usa, pero

3

4

comparten la

c

Es función: cada elemento de $A$ tiene exactamente una imagen.
Inyectiva: ningún elemento de $B$ recibe dos flechas.
Sobreyectiva: todo elemento de $B$ recibe al menos una flecha.

Biyectiva: cada elemento de

B

recibe exactamente una flecha.

Arma tus propios ejemplos en el diagrama de abajo y mira cómo cambia la clasificación.

Toca un elemento de A y después uno de B para poner o quitar una flecha.

Es función: cada elemento de $A$ tiene exactamente una imagen.
No es inyectiva: algún elemento de $B$ recibe dos o más flechas.
No es sobreyectiva: algún elemento de $B$ no recibe flechas.

Compruébalo tú

Funciones inyectivas

Definición

Inyectiva

$f : A \to B$ es inyectiva si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas:

\forall a, b \in A : a \neq = b \Rightarrow f (a) \neq = f (b)

La forma equivalente, que es la que se usa para demostrar:

\forall a, b \in A : f (a) = f (b) \Rightarrow a = b

En la gráfica, dos $x$ con la misma imagen son dos puntos a la misma altura. Una recta horizontal los junta. De ahí sale una prueba visual.

Definición

Prueba de la recta horizontal

Una función es inyectiva si y solo si ninguna recta horizontal corta su gráfica en más de un punto.

f (x) = x^{2}

no es inyectiva en

R

: la recta

y = 4

la corta en

x = - 2

y en

x = 2

Ejemplo

Demostrar que sí es inyectiva

Demuestra que $f : R - {3} \to R / y = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ es inyectiva.

1
Partimos de $f (a) = f (b)$ : $\frac{2 a + 1}{a - 3} = \frac{2 b + 1}{b - 3}$ .

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Ejemplo

Demostrar que no es inyectiva

Demuestra que $f : R \to R / y = x^{2} - 4 x$ no es inyectiva.

1
Basta un contraejemplo: dos $x$ distintos con la misma imagen.

1 de 2

Ejemplos sí, pero solo para negar

Un contraejemplo alcanza para probar que una función no es inyectiva. Para probar que sí lo es no basta con probar algunos números: hace falta el argumento general con $a$ y $b$ .

Compruébalo tú

Funciones sobreyectivas

Definición

Sobreyectiva

$f : A \to B$ es sobreyectiva si todo elemento del conjunto de llegada es imagen de algún elemento del dominio:

\forall y \in B, \exists x \in A : y = f (x)

Dicho de otra forma, $f$ es sobreyectiva si y solo si $Ran f = B$ .

Aquí está el detalle que más se olvida: la sobreyectividad depende del conjunto de llegada que escribas en la definición. La misma regla puede ser sobreyectiva o no según lo que pongas a la derecha de la flecha.

Ejemplo

La misma regla, dos respuestas

¿Son sobreyectivas $f : R \to R / y = x^{2}$ y $g : R \to [0, + \infty) / y = x^{2}$ ?

1
Las dos tienen rango $[0, + \infty)$ , porque un cuadrado nunca es negativo y toma todos los valores no negativos.

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Cómo se argumenta en el parcial

Para decir que no es sobreyectiva, da el rango y nombra un elemento del conjunto de llegada que se queda fuera: "el rango es $[0, + \infty)$ , así que $y = - 1 \in R$ no tiene preimagen".

Costos que nunca aparecen

Si una función de costo es $C : [0, + \infty) \to R / C (q) = 500 + 20 q$ , ningún nivel de producción da un costo menor que $500$ , el costo fijo. Como función de $[0, + \infty)$ en $R$ no es sobreyectiva. Con llegada $[500, + \infty)$ sí lo es.

Compruébalo tú

Funciones biyectivas

Definición

Biyectiva

$f : A \to B$ es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Cada elemento de $B$ es imagen de exactamente un elemento de $A$ .

Las biyecciones son importantes porque son justamente las funciones que tienen inversa. Si cada $y$ viene de un único $x$ , se puede recorrer el camino al revés sin ambigüedad.

Función de $R$ en $R$	¿Inyectiva?	¿Sobreyectiva?	Clasificación
$y = 2 x + 1$	Sí	Sí	Biyectiva
$y = x^{3}$	Sí	Sí	Biyectiva
$y = x^{2}$	No: $f (- 1) = f (1)$	No: rango $[0, + \infty)$	Ninguna
$y = e^{x}$	Sí	No: rango $(0, + \infty)$	Solo inyectiva
$y = x^{3} - x$	No: $f (0) = f (1)$	Sí	Solo sobreyectiva
$y = ∣ x ∣$	No: $f (- 2) = f (2)$	No: rango $[0, + \infty)$	Ninguna

Compruébalo tú

Restringir para obtener una biyección

En el parcial se pide: "manteniendo la regla de correspondencia, haz las restricciones necesarias para convertirla en biyectiva y defínela". La regla no se toca. Lo que se cambia es el dominio y el conjunto de llegada.

Para la inyectividad se recorta el dominio a un tramo donde la gráfica solo sube o solo baja. Así ninguna recta horizontal la corta dos veces.
Para la sobreyectividad se cambia el conjunto de llegada por el rango de ese tramo.

Ejemplo

Una parábola

Convierte en biyectiva $f : R \to R / y = x^{2} - 4 x + 1$ y defínela.

1
Completamos el cuadrado: $x^{2} - 4 x + 1 = (x - 2)^{2} - 3$ . Vértice $(2, - 3)$ , abre hacia arriba.

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La rama de la derecha, desde el vértice, sí pasa la prueba de la recta horizontal.

Ejemplo

Un caso de parcial: |x| − x

Sea $f : [- 2, 2] \to R / y = ∣ x ∣ - x$ . ¿Cuál es la preimagen de cero? Demuestra que no es inyectiva ni sobreyectiva y restríngela para que sea biyectiva.

1
Separamos por el signo de $x$ . Si $x \geq 0$ , $∣ x ∣ = x$ y $f (x) = 0$ . Si $x < 0$ , $∣ x ∣ = - x$ y $f (x) = - 2 x$ .

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y = ∣ x ∣ - x

[- 2, 2]

: plana a la derecha del cero, recta de pendiente

- 2

a la izquierda.

Escribe la definición completa

La respuesta no es solo " $x \geq 2$ ". Hay que escribir la función con su nuevo dominio, su nuevo conjunto de llegada y la regla sin cambios: $f : A \to B / y = f (x)$ .

Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.