Módulo 1 · Tema 3 de 10

Dominio y rango

Encontrar dónde existe una función, qué valores toma y qué restricciones la convierten en función.

Al terminar podrás

Hallar el dominio natural de polinomios, cocientes, raíces pares, logaritmos y sus combinaciones.
Hallar el rango despejando $x$ o leyendo la gráfica.
Argumentar por qué una relación de $R$ en $R$ no es función.
Hacer las restricciones necesarias y definir la función completa, como piden los parciales.

6 secciones · 16 tipos de ejercicio

Qué son el dominio y el rango

El dominio de una función son los valores de $x$ que puedes meter en ella. El rango son los valores de $y$ que efectivamente salen.

Cuando un ejercicio solo da la regla, por ejemplo $f (x) = x - 1$ , se sobrentiende el dominio natural: el conjunto más grande de números reales para los que la regla produce un número real. Hallar ese dominio es la tarea más frecuente del primer parcial.

Definición

Dominio y rango

Para $f : A \to B / y = f (x)$ :

$Dom f$ es el conjunto de preimágenes. Para que $f$ sea función, $Dom f = A$ .
$Ran f = {y \in B / y = f (x) para alg u ˊ n x \in A}$ es el conjunto de imágenes. Siempre $Ran f \subseteq B$ .

f (x) = x + 2

. Su sombra sobre el eje

x

(azul) es el dominio,

[- 2, + \infty)

. Su sombra sobre el eje

y

(verde) es el rango,

[0, + \infty)

Dominio en el eje x, rango en el eje y

Mirando una gráfica, el dominio es la sombra que proyecta sobre el eje horizontal y el rango la que proyecta sobre el eje vertical.

Compruébalo tú

Las tres operaciones que restringen el dominio

Casi todas las operaciones aceptan cualquier número real. Solo tres ponen condiciones, y son las únicas que tienes que vigilar.

Si la regla tiene	Condición	Ejemplo	Dominio
Solo sumas, restas, productos y potencias naturales	Ninguna	$x^{3} - 4 x + 1$	$R$
Un cociente $\frac{P}{Q}$	$Q \neq = 0$	$\frac{1}{x - 3}$	$R - {3}$
Una raíz de índice par $Q$	$Q \geq 0$	$x + 2$	$[- 2, + \infty)$
Un logaritmo $ln Q$	$Q > 0$	$ln (5 - x)$	$(- \infty, 5)$
Raíz impar, exponencial, valor absoluto	Ninguna	$3 x, e^{x}, ∣ x ∣$	$R$

Ejemplo

Un cociente cuyo denominador se anula dos veces

Halla el dominio de $f (x) = \frac{x + 1}{x ^{2} - 4}$ .

1
La única restricción es el denominador: $x^{2} - 4 \neq = 0$ .

1 de 3

Ejemplo

Una raíz con coeficiente negativo

Halla el dominio de $f (x) = 6 - 2 x$ .

1
Condición: $6 - 2 x \geq 0$ .

1 de 3

Ejemplo

Un logaritmo de un polinomio de grado 2

Halla el dominio de $f (x) = ln (x^{2} - 3 x + 2)$ .

1
Condición: $x^{2} - 3 x + 2 > 0$ .

1 de 4

(-∞, 1) ∪ (2, +∞)

Dominio de

ln (x^{2} - 3 x + 2)

Cero en la raíz sí, cero en el logaritmo no

$0 = 0$ existe, así que en una raíz los extremos van cerrados. $ln 0$ no existe, así que en un logaritmo van abiertos. Y si la raíz está en un denominador, el cero vuelve a quedar fuera.

Compruébalo tú

Varias restricciones a la vez

Cuando la regla mezcla varias operaciones, anota una condición por cada operación peligrosa y después intersecta: el dominio son los $x$ que cumplen todas a la vez. Dibujar cada condición sobre la misma recta numérica evita errores.

Ejemplo

Raíz arriba, cociente abajo

Halla el dominio de $f (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ .

1
Raíz: $x + 3 \geq 0$ , es decir $x \geq - 3$ .

1 de 3

Ejemplo

Una raíz de un cociente (prueba corta)

Halla el dominio de $f (x) = \frac{x ^{2} + 2}{x - 1}$ .

1
Condición de la raíz: $\frac{x ^{2} + 2}{x - 1} \geq 0$ . Condición del cociente: $x \neq = 1$ .

1 de 3

Factores que siempre son positivos

Expresiones como $x^{2} + 2$ , $e^{x}$ o $x^{2} + x + 1$ (discriminante negativo) nunca cambian de signo. En una tabla de signos se pueden ignorar, lo que ahorra mucho trabajo.

Compruébalo tú

Hallar el rango despejando

El rango responde la pregunta: ¿qué valores de $y$ tienen al menos una preimagen? Eso se averigua despejando. Escribe $y = f (x)$ , despeja $x$ en función de $y$ y mira para qué valores de $y$ ese despeje existe y cae dentro del dominio.

Ejemplo

Rango de un cociente

Halla el rango de $f : R - {3} \to R / y = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ .

1
Multiplicamos en cruz: $y (x - 3) = 2 x + 1$ , es decir $x y - 3 y = 2 x + 1$ .

1 de 4

Ejemplo

Rango de una raíz desplazada

Halla el rango de $f (x) = x - 1 + 2$ .

1
$y - 2 = x - 1$ . Como la raíz nunca es negativa, necesitamos $y - 2 \geq 0$ , es decir $y \geq 2$ .

1 de 2

El despeje esconde condiciones

Al elevar al cuadrado se pierde la información de que la raíz era no negativa. Si en el ejemplo anterior solo miras $x = (y - 2)^{2} + 1$ , parece que todo $y$ sirve. Anota la condición $y - 2 \geq 0$ antes de elevar.

Rango de una demanda

Si la demanda es $q = 120 - 3 p$ con $p \in [0, 40]$ , la cantidad va de $q = 120$ (precio cero) a $q = 0$ (precio $40$ ). El rango es $[0, 120]$ : son todas las cantidades que el mercado puede llegar a demandar.

Compruébalo tú

Leer el rango en la gráfica

Si tienes la gráfica, el rango se lee proyectándola sobre el eje $y$ . Busca el punto más bajo y el más alto, y revisa si esos valores se alcanzan (punto relleno) o no (punto hueco o asíntota).

f : [- 1, 4] \to R / y = x^{2} - 2 x - 3

. El rango va del vértice al extremo más alto:

[- 4, 5]

Ejemplo

Parábola con dominio recortado

Halla el rango de $f : [- 1, 4] \to R / y = x^{2} - 2 x - 3$ .

1
Completamos el cuadrado: $x^{2} - 2 x - 3 = (x - 1)^{2} - 4$ . Vértice en $(1, - 4)$ , abre hacia arriba.

1 de 3

f (x) = a (x - h)^{2} + k a = 1, h = 1, k = - 2

a

1

h

1

k

- 2

Mueve

a

h

k

. Con

a > 0

el rango es

[k, + \infty)

y con

a < 0

(- \infty, k]

. El valor de

h

no cambia el rango.

Compruébalo tú

Restricciones para que una relación sea función

En los parciales aparece una y otra vez el mismo enunciado: "Sea $f : R \to R / y = \dots$ . Argumenta todas las razones por las cuales $f$ no es función, haz las restricciones y defínela".

Fíjate en que el enunciado declara $R$ como conjunto de partida. Si algún real no tiene imagen, o tiene más de una, la relación no es función de $R$ en $R$ . Las razones posibles son solo dos:

Hay elementos del conjunto de partida sin imagen.
Hay elementos del conjunto de partida con más de una imagen.

La restricción consiste en cambiar el conjunto de partida por el dominio natural (y, si hace falta, quedarse con una sola rama).

Ejemplo

Ejercicio tipo parcial

Sea $f : R \to R / y = \frac{ln ( x ^{2} - 3 x + 2 )}{x + 6}$ . Argumenta por qué no es función, haz las restricciones y defínela.

1
Logaritmo: necesita $x^{2} - 3 x + 2 > 0$ , o sea $(x - 1) (x - 2) > 0$ , que da $(- \infty, 1) \cup (2, + \infty)$ . Los $x$ de $[1, 2]$ no tienen imagen. Por ejemplo, $x = 1$ da $ln 0$ .

1 de 5

El conjunto de partida restringido: sin

[1, 2]

y sin el

- 6

Argumentar es dar un ejemplo concreto

No basta con decir "hay valores sin imagen". Nombra uno y muestra la operación que falla: " $x = 1$ no tiene imagen porque $ln (1^{2} - 3 + 2) = ln 0$ no existe". Así se gana el punto completo.

Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.