Módulo 1 · Tema 2 de 10

Relaciones y funciones

Producto cartesiano, relaciones, qué hace que una relación sea función, imagen y preimagen.

Al terminar podrás

Construir el producto cartesiano de dos conjuntos y reconocer una relación como un subconjunto suyo.
Decidir si una relación es función revisando sus dos condiciones en pares, en un diagrama o en una gráfica.
Calcular imágenes y preimágenes.
Escribir una función completa con la notación $f : A \to B / y = f (x)$ .
Argumentar por qué una relación no es función y restringirla para que lo sea.

6 secciones · 12 tipos de ejercicio

Pares ordenados y producto cartesiano

En la vida diaria emparejamos cosas todo el tiempo: cada estudiante con su nota, cada producto con su precio. En matemática esos emparejamientos se escriben como pares ordenados $(x, y)$ .

La palabra ordenados importa. El par $(2, 5)$ no es el mismo que $(5, 2)$ : en el plano son puntos distintos, y en una lista de precios no es lo mismo "producto 2 cuesta 5" que "producto 5 cuesta 2". Dos pares son iguales solo si coinciden componente a componente.

Definición

Producto cartesiano

Dados dos conjuntos $A$ y $B$ , el producto cartesiano $A \times B$ es el conjunto de todos los pares cuya primera componente está en $A$ y cuya segunda componente está en $B$ :

A \times B = {(x, y) / x \in A \land y \in B}

Ejemplo

Armar un producto cartesiano

Sean $A = {1, 2, 3}$ y $B = {a, b}$ . Escribe $A \times B$ y $B \times A$ .

1
Tomamos cada elemento de $A$ y lo combinamos con cada elemento de $B$ , en ese orden.

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El producto no es conmutativo

En general $A \times B \neq = B \times A$ . Lo que sí se cumple es que tienen la misma cantidad de pares: si $A$ tiene $m$ elementos y $B$ tiene $n$ , cada producto tiene $m \cdot n$ .

El plano cartesiano es justamente $R \times R = R^{2}$ : todos los pares de números reales. Cada punto del plano es un par $(x, y)$ .

Compruébalo tú

Relaciones

El producto cartesiano junta todas las parejas posibles. Casi nunca nos interesan todas, sino las que cumplen alguna condición. Escoger algunos pares de $A \times B$ es armar una relación.

Definición

Relación de A en B

Una relación $R$ de $A$ en $B$ es cualquier subconjunto del producto cartesiano: $R \subseteq A \times B$ .

$A$ es el conjunto de partida y $B$ el conjunto de llegada.
El dominio de $R$ son las primeras componentes de sus pares: $Dom R = {x / (x, y) \in R}$ .
El rango de $R$ son las segundas componentes: $Ran R = {y / (x, y) \in R}$ .

Ejemplo

Una relación dada por un enunciado

Sean $A = {1, 3, 5, 7}$ y $B = {0, 2, 4, 6}$ . Determina $R = {(x, y) \in A \times B / x < y}$ , su dominio y su rango.

1
$A \times B$ tiene $4 \cdot 4 = 16$ pares. Revisamos cuáles cumplen $x < y$ .

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No es función: $7$ no tiene imagen.

Diagrama sagital de la relación

x < y

. Cada flecha es un par de

R

Conjunto de partida no es lo mismo que dominio

El conjunto de partida es el que declaras de entrada. El dominio son los elementos que de verdad tienen alguna flecha. En una relación cualquiera pueden ser distintos.

Compruébalo tú

Cuándo una relación es función

Piensa en una máquina expendedora. Cada botón que existe tiene que dar un producto, y siempre el mismo. Si un botón no da nada, o si a veces da una cosa y a veces otra, la máquina está dañada.

Una función es una relación que se porta como esa máquina bien hecha.

Definición

Función

Una relación $f$ de $A$ en $B$ es una función si todo elemento de $A$ se relaciona con uno y solo un elemento de $B$ . Son dos condiciones:

Existencia. Todo $x \in A$ tiene imagen: existe $y \in B$ con $(x, y) \in f$ .
Unicidad. Esa imagen es única: si $(x, y) \in f$ y $(x, z) \in f$ , entonces $y = z$ .

Se escribe $f : A \to B$ y se lee " $f$ es función de $A$ en $B$ ".

En un diagrama sagital las dos condiciones se ven así: de cada elemento de $A$ sale exactamente una flecha. Dibuja flechas en el diagrama y mira cómo la aplicación clasifica lo que hiciste.

Toca un elemento de A y después uno de B para poner o quitar una flecha.

Es función: cada elemento de $A$ tiene exactamente una imagen.
No es inyectiva: algún elemento de $B$ recibe dos o más flechas.
No es sobreyectiva: algún elemento de $B$ no recibe flechas.

Prueba dejar un elemento sin flecha, sacar dos flechas del mismo elemento o mandar dos elementos al mismo número.

Ejemplo

Tres relaciones de A = {1, 2, 3} en B = {p, q, r}

Decide cuáles son funciones: $R_{1} = {(1, p), (2, q), (3, p)}$ , $R_{2} = {(1, p), (2, r)}$ y $R_{3} = {(1, p), (1, q), (2, r), (3, r)}$ .

1
$R_{1}$ : el $1$ , el $2$ y el $3$ tienen una imagen cada uno. Es función, aunque el $1$ y el $3$ compartan imagen y la $r$ quede sin usar.

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Lo que no rompe una función

Que dos elementos de $A$ vayan al mismo elemento de $B$ está permitido. Que sobren elementos en $B$ sin flecha también. Las dos condiciones solo hablan de los elementos de $A$ .

Compruébalo tú

Imagen y preimagen

Si $(x, y)$ es un par de la función $f$ , decimos que $y$ es la imagen de $x$ y que $x$ es una preimagen (o contraimagen) de $y$ . Como la imagen de cada $x$ es única, se le puede dar nombre: se escribe $y = f (x)$ y se lee " $y$ es igual a $f$ de $x$ ".

La regla $y = f (x)$ es la regla de correspondencia: la receta que dice qué hacer con cada $x$ .

x

3

Entra

3

→

f (x) = x^{2} - 1

8

El resultado final es $f (3) = 8$ .

La máquina de

f (x) = x^{2} - 1

. Cambia la entrada y mira su imagen. Fíjate que

3

- 3

salen iguales.

Ejemplo

Imágenes y preimágenes de f(x) = x² − 1

Sea $f : R \to R / y = x^{2} - 1$ . Halla la imagen de $3$ , las preimágenes de $8$ y las preimágenes de $- 2$ .

1
Imagen de $3$ : sustituimos. $f (3) = 3^{2} - 1 = 8$ .

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Imagen se calcula, preimagen se despeja

Para la imagen sustituyes $x$ en la regla. Para la preimagen planteas la ecuación $f (x) = y$ y la resuelves. Confundir las dos es el error más frecuente.

Compruébalo tú

Definir una función completa

Una función no es solo su fórmula. En esta cátedra una función queda definida con tres piezas: el dominio, el conjunto de llegada (codominio) y la regla de correspondencia. Por eso, cuando un parcial dice "defínela", hay que escribir las tres:

f : A \to B / y = f (x)

Se lee " $f$ de $A$ en $B$ tal que $y$ es igual a $f$ de $x$ ". Como todo $x$ de $A$ tiene imagen, $Dom f = A$ . El rango cumple $Ran f \subseteq B$ .

Definición

La función como conjunto de pares

Con la regla conocida, la función es el conjunto de pares

f = {(x, y) \in A \times B / y = f (x)}

Si $A$ es finito se puede escribir por extensión. Si es infinito, solo por comprensión.

Ejemplo

De la regla a los pares

Sea $f : {- 1, 0, 1, 2} \to R / y = 2 x + 1$ . Escribe $f$ como conjunto de pares y halla su rango.

1
Calculamos cada imagen: $f (- 1) = - 1$ , $f (0) = 1$ , $f (1) = 3$ , $f (2) = 5$ .

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Ejemplo

La misma regla, otra función

¿Es $f : R \to R / y = \frac{1}{x}$ una función? Si no lo es, restríngela y defínela.

1
El $0$ está en el conjunto de partida, pero $\frac{1}{0}$ no existe. El $0$ no tiene imagen, falla la existencia.

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La demanda como función

Una función de demanda asocia a cada precio $p$ la cantidad demandada $q$ . Por ejemplo, $q = 100 - 2 p$ . Como precio y cantidad no pueden ser negativos, la función completa es $D : [0, 50] \to R / q = 100 - 2 p$ . Para precios mayores que $50$ la fórmula daría cantidades negativas, que no tienen sentido.

Compruébalo tú

Funciones reales y la prueba de la recta vertical

En este curso casi todas las funciones son reales de variable real: $f : A \to R$ con $A \subseteq R$ . Su gráfica es el conjunto de puntos $(x, f (x))$ del plano.

La condición de unicidad tiene una traducción visual muy cómoda. Una recta vertical $x = a$ junta todos los puntos del plano con primera componente $a$ . Si corta la gráfica en dos puntos, el $a$ tendría dos imágenes.

Definición

Prueba de la recta vertical

Una curva del plano es la gráfica de una función $y = f (x)$ si y solo si ninguna recta vertical la corta en más de un punto.

La circunferencia

x^{2} + y^{2} = 4

no es función: la recta

x = 1

la corta dos veces.

Ejemplo

Argumentar y restringir (tipo parcial)

Sea $f : R \to R / y^{2} + x = 12$ . Argumenta todas las razones por las cuales $f$ no es función, haz las restricciones para que lo sea y defínela.

1
Despejamos: $y^{2} = 12 - x$ .

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La relación

y^{2} + x = 12

es una parábola acostada. La rama de arriba sí pasa la prueba de la recta vertical.

Rectas verticales y horizontales

La recta horizontal $y = 3$ es función: todo $x$ tiene la imagen $3$ . La recta vertical $x = 3$ no lo es: el $3$ tiene infinitas imágenes y los demás $x$ ninguna. Esta pregunta suele aparecer como verdadero o falso en el parcial.

Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.