Módulo 1 · Tema 1 de 10

Conjuntos e intervalos

Unión, intersección, diferencia y complemento, intervalos y conjuntos definidos por una inecuación.

Al terminar podrás

Leer y escribir conjuntos por extensión y por comprensión.
Calcular uniones, intersecciones, diferencias y complementos.
Pasar de una desigualdad a un intervalo y operar con intervalos.
Resolver conjuntos definidos por una inecuación, como en el primer parcial.

5 secciones · 10 tipos de ejercicio

Qué es un conjunto

Un conjunto es una colección de objetos bien definida. Bien definida quiere decir que, para cualquier objeto, se puede decidir sin dudas si está o no está en el conjunto. Las vocales del alfabeto forman un conjunto. Los estudiantes altos de tu salón no, porque nadie se pone de acuerdo en qué es ser alto.

Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas y sus elementos se escriben entre llaves.

Definición

Pertenencia

Si $a$ es un elemento del conjunto $A$ se escribe $a \in A$ y se lee " $a$ pertenece a $A$ ". Si no lo es, se escribe $a \in / A$ .

V = {a, e, i, o, u} e \in V b \in / V

Hay dos maneras de describir un conjunto:

Por extensión, nombrando uno por uno sus elementos: $A = {1, 2, 3, 4}$ .
Por comprensión, dando la condición que cumplen: $A = {x \in N / x < 5}$ .

La barra $/$ se lee "tal que". La segunda forma se lee: "los $x$ de los naturales tal que $x$ es menor que 5".

Ejemplo

Pasar de comprensión a extensión

Escribe por extensión $A = {x \in Z / - 2 \leq x < 3}$ .

1
Los $x$ tienen que ser enteros, es decir, números sin parte decimal: $\dots, - 2, - 1, 0, 1, 2, \dots$

1 de 3

Los conjuntos numéricos

Símbolo	Nombre	Qué contiene	Ejemplos
$N$	Naturales	Los números para contar	$1, 2, 3, 15$
$Z$	Enteros	Naturales, el cero y los negativos	$- 4, 0, 7$
$Q$	Racionales	Todo lo que se escribe como fracción de enteros	$\frac{1}{2}, - 0, 75, 3$
$R$	Reales	Racionales e irracionales: toda la recta	$2, π, - 1, 5$

Cada conjunto contiene al anterior:

N \subset Z \subset Q \subset R

Dos ideas que vas a usar todo el semestre

El conjunto vacío $\emptyset$ no tiene elementos. $A$ es subconjunto de $B$ , y se escribe $A \subseteq B$ , cuando todo elemento de $A$ también está en $B$ .

También verás escrituras como $Z - {0}$ , que significa "los enteros menos el cero", o $R - {1}$ , "todos los reales menos el 1".

Compruébalo tú

Operaciones entre conjuntos

Con dos conjuntos se pueden armar otros nuevos. Toca los botones del diagrama para ver qué zona corresponde a cada operación.

Unión: $A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$

Operación	Contiene	Con el diagrama
Unión $A \cup B$	Lo que está en $A$ o en $B$	${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$
Intersección $A \cap B$	Lo que está en $A$ y en $B$	${3, 4}$
Diferencia $A - B$	Lo de $A$ que no está en $B$	${1, 2}$
Complemento $A^{c}$	Lo del universo que no está en $A$	${5, 6, 7, 8, 9}$
Diferencia simétrica $A △ B$	Lo que está en uno solo de los dos	${1, 2, 5, 6, 7}$

El orden importa en la diferencia

$A - B$ y $B - A$ casi nunca son iguales. Con el diagrama de arriba, $A - B = {1, 2}$ pero $B - A = {5, 6, 7}$ .

Leyes de De Morgan

El complemento cambia unión por intersección y al revés:

(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}

(A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}

Ejemplo

Operaciones con conjuntos finitos

Sean $A = {2, 4, 6, 8}$ y $B = {1, 2, 3, 4}$ . Calcula $A \cup B$ , $A \cap B$ y $A - B$ .

1
Unión: juntamos todo sin repetir. $A \cup B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}$ .

1 de 3

Intervalos

Cuando un conjunto tiene infinitos números reales seguidos, como "todos los números entre 2 y 5", no se pueden nombrar uno por uno. Para eso existen los intervalos, que son tramos de la recta real.

El paréntesis indica que el extremo no entra y el corchete indica que sí entra.

Intervalo	Desigualdad	Se lee
$(a, b)$	$a < x < b$	Abierto: sin extremos
$[a, b]$	$a \leq x \leq b$	Cerrado: con los dos extremos
$[a, b)$	$a \leq x < b$	Incluye $a$ , excluye $b$
$(a, b]$	$a < x \leq b$	Excluye $a$ , incluye $b$
$(a, + \infty)$	$x > a$	Todos los mayores que $a$
$(- \infty, b]$	$x \leq b$	Todos los menores o iguales a $b$

[-2, 3)

El intervalo

[- 2, 3)

: el punto relleno entra, el punto hueco no.

El infinito siempre va con paréntesis

$\infty$ no es un número al que se llegue, solo indica que el tramo no termina. Por eso $[3, + \infty]$ está mal escrito. Lo correcto es $[3, + \infty)$ .

Compruébalo tú

Operaciones con intervalos

Las operaciones con intervalos son las mismas que con conjuntos finitos. La diferencia es que ahora conviene dibujar. Pon los dos intervalos sobre la misma recta, uno arriba del otro, y lee el resultado mirando el dibujo.

Ejemplo

Unión, intersección y diferencia

Sean $A = [- 2, 3)$ y $B = (1, 5]$ . Calcula $A \cup B$ , $A \cap B$ , $A - B$ y $B - A$ .

1
Unión: todo lo pintado por alguno. Va desde $- 2$ , que está en $A$ , hasta $5$ , que está en $B$ . $A \cup B = [- 2, 5]$ .

1 de 4

A = [-2, 3)

B = (1, 5]

A ∩ B = (1, 3)

El truco de los extremos

En una diferencia $A - B$ , un extremo que pertenece a $B$ queda fuera del resultado y un extremo que no pertenece a $B$ queda dentro. El paréntesis se convierte en corchete y al revés.

Quitar puntos sueltos también parte un intervalo. Por ejemplo, $R - {1} = (- \infty, 1) \cup (1, + \infty)$ , y $(0, 5) - {2, 3} = (0, 2) \cup (2, 3) \cup (3, 5)$ .

Conjuntos definidos por una inecuación

En el primer parcial es común que un conjunto venga dado por una inecuación. Para escribirlo como intervalo hay que resolverla. Si aún no dominas las inecuaciones, repasa el tema de nivelación Desigualdades e inecuaciones y vuelve aquí.

Ejemplo

Ejercicio tipo parcial

Dados $A = {x \in R / \frac{x + 4}{x - 2} < 1}$ y $B = {x \in Z - {0} / - 5 < x < 2}$ , determina $A$ , $B$ , $A - B$ y $A \cap B$ .

1
No se puede multiplicar por $x - 2$ porque no sabemos si es positivo o negativo, y eso decide si la desigualdad se voltea. Mejor pasamos el $1$ restando: $\frac{x + 4}{x - 2} - 1 < 0$ .

1 de 6

El error más común

Multiplicar ambos lados por $x - 2$ como si fuera positivo. Si $x - 2$ es negativo, la desigualdad se voltea y el resultado sale mal. Siempre compara con cero y usa una tabla de signos.

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.