Módulo 0 · Tema 10 de 10

Exponenciales y logaritmos

Qué es un logaritmo, sus propiedades y cómo resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Al terminar podrás

Operar con potencias de exponente entero, fraccionario y real.
Reconocer la función exponencial, su gráfica y el número e.
Entender el logaritmo como un exponente y usar sus propiedades.
Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas verificando el dominio.
Calcular interés compuesto, capitalización continua y tiempos de crecimiento.

7 secciones · 17 tipos de ejercicio

Potencias con cualquier exponente

Una potencia es una multiplicación repetida: $2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ . El número de abajo es la base y el de arriba el exponente. Las leyes de los exponentes salen de contar factores. Después se usan para darle sentido a exponentes negativos, fraccionarios y hasta irracionales.

Definición

Leyes de los exponentes

Producto con la misma base: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ . Por ejemplo, $2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{7}$ .
Cociente con la misma base: $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$ . Por ejemplo, $\frac{5 ^{6}}{5 ^{2}} = 5^{4}$ .
Potencia de una potencia: $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ . Por ejemplo, $(3^{2})^{4} = 3^{8}$ .
Exponente cero: $a^{0} = 1$ si $a \neq = 0$ . Por ejemplo, $7^{0} = 1$ .
Exponente negativo: $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ . Por ejemplo, $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ .
Exponente fraccionario: $a^{m / n} = n a^{m}$ . Por ejemplo, $8^{2/3} = 364 = 4$ .

Ejemplo

Usar las leyes

Calcula $2 7^{2/3}$ y $1 6^{- 1/2}$ , y simplifica $\frac{( x ^{2} ) ^{3} \cdot x ^{- 1}}{x ^{4}}$ .

1
$2 7^{2/3} = (327)^{2} = 3^{2} = 9$ .

1 de 3

¿Y un exponente irracional, como en $2^{2}$ ? Ya no se pueden contar factores, pero se puede aproximar. Como $2 \approx 1, 41421$ , las potencias $2^{1, 4}$ , $2^{1, 41}$ , $2^{1, 414}$ , que tienen exponente fraccionario, se van acercando a un número fijo: $2^{2} \approx 2, 665$ . Así $a^{x}$ tiene sentido para cualquier real $x$ siempre que la base $a$ sea positiva.

Dos errores de signos y paréntesis

$- 3^{2} = - 9$ , porque el exponente solo afecta al 3. En cambio $(- 3)^{2} = 9$ .
$(a + b)^{2}$ no es $a^{2} + b^{2}$ . Las potencias se reparten en productos, no en sumas: $(ab)^{2} = a^{2} b^{2}$ .

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La función exponencial

Si dejas fija la base y mueves el exponente, obtienes una función exponencial, $f (x) = a^{x}$ . En $x^{2}$ la variable está en la base. Aquí está arriba, y eso hace que crezca, o decrezca, muy rápido. Cada vez que $x$ aumenta en 1, el valor se multiplica por $a$ .

$x$	$2^{x}$
$- 2$	$\frac{1}{4}$
$- 1$	$\frac{1}{2}$
$0$	$1$
$1$	$2$
$2$	$4$
$3$	$8$

Cada paso a la derecha duplica el valor. Hacia la izquierda se reduce a la mitad, pero nunca llega a cero.

Definición

Función exponencial de base $a$

Para $a > 0$ con $a \neq = 1$ , $f (x) = a^{x}$ cumple:

Dominio: todos los reales. Rango: $(0, + \infty)$ . Nunca vale cero ni es negativa.
Pasa por $(0, 1)$ , porque $a^{0} = 1$ .
Si $a > 1$ es creciente. Si $0 < a < 1$ es decreciente.
El eje $x$ es asíntota horizontal: la curva se le pega sin tocarlo.

f (x) = 2^{x}

base a

2

Con

a > 1

la curva sube. Con

a

entre 0 y 1 baja. Todas pasan por

(0, 1)

. La punteada es

e^{x}

No confundas $2^{x}$ con $x^{2}$

$x^{2}$ es una parábola y vale $0$ en $x = 0$ . $2^{x}$ es una exponencial y vale $1$ en $x = 0$ . Además una exponencial nunca es negativa, así que $2^{x} = - 4$ no tiene solución y $2^{x} > 0$ se cumple para todo $x$ .

Crecer a un porcentaje fijo

Crecer a un porcentaje fijo es crecer exponencialmente. Una población que aumenta 3 % al año se multiplica por $1, 03$ cada año, así que después de $t$ años es $P (t) = P_{0} (1, 03)^{t}$ . Algo que pierde 10 % de su valor cada año vale $V_{0} (0, 9)^{t}$ , una exponencial decreciente.

Si a la exponencial le sumas un número, toda la curva se mueve en vertical. En $f (x) = 2^{x} - 3$ cada punto de $2^{x}$ baja 3 unidades, y la asíntota baja con ellos: pasa de $y = 0$ a $y = - 3$ . El corte con el eje $y$ también baja, de $(0, 1)$ a $(0, - 2)$ .

Si en cambio la multiplicas, como en $3 \cdot 2^{x}$ , la asíntota no se mueve, porque $3$ por algo que tiende a cero también tiende a cero. Lo que cambia es el corte: ahora es $(0, 3)$ .

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El número e

Hay una base que aparece sola en economía, en finanzas y en casi todo el cálculo: el número $e \approx 2, 71828$ . Para ver de dónde sale, piensa en un banco muy generoso.

Depositas 1 dólar al 100 % de interés anual. Si el banco paga los intereses una vez al año, al final tienes $1 + 1 = 2$ . Si los paga cada seis meses, al 50 % cada vez, y los reinviertes, tienes $(1 + \frac{1}{2})^{2} = 2, 25$ . Si los paga $n$ veces al año, tienes $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ .

Capitalización	$n$	$(1 + \frac{1}{n})^{n}$
Anual	$1$	$2$
Semestral	$2$	$2, 25$
Trimestral	$4$	$2, 4414$
Mensual	$12$	$2, 6130$
Diaria	$365$	$2, 7146$
Cada instante	$1000000$	$2, 71828$

El monto crece, pero cada vez menos, y se acerca a un tope: $e = 2, 71828 \dots$ Es un número irracional, como $π$ . La función $f (x) = e^{x}$ es la exponencial, la que vas a usar casi siempre. En el tema El número e y los límites $1^{\infty}$ verás esta idea escrita como un límite.

Capitalización continua

Si los intereses se reinvierten a cada instante, un capital $P$ a una tasa anual $r$ (en decimal) se convierte en $P e^{r t}$ después de $t$ años. Es el tope del interés compuesto cuando la capitalización se hace cada vez más frecuente.

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Qué es un logaritmo

Un logaritmo responde una pregunta: ¿a qué exponente hay que elevar la base para obtener cierto número? Como $2^{3} = 8$ , el logaritmo en base 2 de 8 es 3, y se escribe $lo g_{2} 8 = 3$ . Un logaritmo es un exponente. Si recuerdas esa frase, todas sus propiedades se vuelven razonables.

Definición

Logaritmo en base $b$

Para $b > 0$ , $b \neq = 1$ y $x > 0$ :

lo g_{b} x = y ⟺ b^{y} = x

Se lee "logaritmo en base $b$ de $x$ ". El número $x$ es el argumento y tiene que ser positivo, porque $b^{y}$ nunca es cero ni negativo.

Ejemplo

Calcular logaritmos sin calculadora

Calcula $lo g_{3} 81$ , $lo g 1000$ , $lo g_{2} \frac{1}{8}$ y $lo g_{5} 5$ .

1
$3^{4} = 81$ , así que $lo g_{3} 81 = 4$ .

1 de 4

Escritura	Base	Nombre
$ln x$	$e$	Logaritmo natural o neperiano
$lo g x$	$10$	Logaritmo decimal (cuando no se escribe la base)
$lo g_{b} x$	$b$	Logaritmo en base $b$

Es la convención de la guía de la cátedra:

lo g x

sin base significa base 10.

Consecuencias inmediatas de la definición

lo g_{b} 1 = 0 lo g_{b} b = 1

lo g_{b} (b^{x}) = x b^{l o g_{b} x} = x

La exponencial y el logaritmo de la misma base se deshacen el uno al otro: son funciones inversas. Por ejemplo $ln (e^{5}) = 5$ y $e^{l n 7} = 7$ .

ln x

es el reflejo de

e^{x}

sobre la recta

y = x

. Solo existe para

x > 0

, vale

0

x = 1

y es negativo entre

0

1

Argumentos prohibidos

$ln 0$ y $ln (- 2)$ no existen. El dominio de $ln x$ es $(0, + \infty)$ . Ojo: el logaritmo sí puede dar un resultado negativo, por ejemplo $ln \frac{1}{e} = - 1$ . Lo que no puede ser negativo es lo de adentro.

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Propiedades de los logaritmos

Como un logaritmo es un exponente, sus propiedades son las leyes de los exponentes vistas al revés. Multiplicar potencias suma exponentes, así que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos. Dividir resta exponentes, y elevar a una potencia los multiplica.

Definición

Propiedades de los logaritmos

Valen para $M > 0$ y $N > 0$ .

Producto

lo g_{b} (M N) = lo g_{b} M + lo g_{b} N

Por ejemplo, $lo g_{6} 4 + lo g_{6} 9 = lo g_{6} 36 = 2$ .

Cociente

lo g_{b} \frac{M}{N} = lo g_{b} M - lo g_{b} N

Por ejemplo, $lo g_{2} 24 - lo g_{2} 3 = lo g_{2} 8 = 3$ .

Potencia

lo g_{b} (M^{k}) = k lo g_{b} M

Por ejemplo, $ln (x^{5}) = 5 ln x$ .

Cambio de base

lo g_{b} M = \frac{ln M}{ln b}

Por ejemplo, $lo g_{3} 7 = \frac{ln 7}{ln 3} \approx 1, 7712$ .

Ejemplo

Expandir

Escribe $ln \frac{x ^{3} y}{z ^{2}}$ como suma y resta de logaritmos simples ( $x, y, z > 0$ ).

1
Cociente: $ln (x^{3} y) - ln (z^{2})$ .

1 de 3

Ejemplo

Condensar

Escribe $2 ln x - ln (x + 1) + ln 3$ como un solo logaritmo.

1
Potencia: $2 ln x = ln (x^{2})$ .

1 de 2

Lo que las propiedades no dicen

$ln (M + N) \neq = ln M + ln N$ . No hay regla para el logaritmo de una suma.
$(ln x)^{2} \neq = 2 ln x$ . El exponente baja solo si está dentro del logaritmo.
$\frac{ln M}{ln N} \neq = ln M - ln N$ . Ese cociente es un cambio de base: $lo g_{N} M$ .

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Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Hay tres estrategias para las exponenciales y una para las logarítmicas. La elección depende de cómo venga la ecuación.

Ejemplo

Igualar bases

Resuelve $2^{x + 1} = 8^{x - 1}$ .

1
$8 = 2^{3}$ , así que el lado derecho es $2^{3 (x - 1)} = 2^{3 x - 3}$ .

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Ejemplo

Sacar logaritmo

Resuelve $3^{x} = 7$ y $5 e^{2 x} = 40$ .

1
Tomamos $ln$ : $ln (3^{x}) = ln 7$ . La potencia baja: $x ln 3 = ln 7$ , así que $x = \frac{ln 7}{ln 3} \approx 1, 7712$ .

1 de 3

Ejemplo

Cambio de variable

Resuelve $e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 = 0$ .

1
Como $e^{2 x} = (e^{x})^{2}$ , llamamos $u = e^{x}$ : $u^{2} - 3 u + 2 = 0$ .

1 de 3

Ejemplo

Ecuación logarítmica

Resuelve $lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 2) = 3$ .

1
Dominio: $x > 0$ y $x - 2 > 0$ , es decir, $x > 2$ .

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Verifica siempre el dominio

Al juntar logaritmos con las propiedades, la ecuación nueva acepta valores que la original no acepta. Por eso aparecen soluciones falsas. Antes de dar la respuesta, sustituye cada candidato en los argumentos de la ecuación original. Todos tienen que ser positivos.

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Interés compuesto y crecimiento

Definición

Interés compuesto

Un capital $P$ a una tasa anual $r$ (en decimal), capitalizable $n$ veces al año, después de $t$ años se convierte en

A = P (1 + \frac{r}{n})^{n t}

Con capitalización continua: $A = P e^{r t}$ .

Ejemplo

Compuesto y continuo

Se invierten 5000 dólares al 8 % anual durante 3 años. Calcula el monto con capitalización trimestral y con capitalización continua.

1
Trimestral: $n = 4$ , la tasa por trimestre es $\frac{0 , 08}{4} = 0, 02$ y hay $4 \cdot 3 = 12$ trimestres.

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Ejemplo

¿Cuánto tarda en duplicarse?

Con capitalización continua al 6 % anual, ¿en cuánto tiempo se duplica un capital?

1
Duplicar es pasar de $P$ a $2 P$ : $2 P = P e^{0, 06 t}$ .

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La regla del 70

Como $ln 2 \approx 0, 693$ , el tiempo para duplicar es más o menos $\frac{70}{tasa en porcentaje}$ años. Al 7 % anual un capital, una economía o una población se duplica en unos 10 años.

El mismo modelo describe cualquier cantidad que cambia a un ritmo proporcional a su tamaño: $P (t) = P_{0} e^{k t}$ . Con $k > 0$ es crecimiento, por ejemplo una población o un PIB. Con $k < 0$ es decrecimiento, por ejemplo el valor de un equipo que se deprecia en forma exponencial.

Ejemplo

Crecimiento de una población

Una ciudad de 2 millones de habitantes crece a una tasa continua de 1,5 % anual. ¿Cuándo llega a 3 millones?

1
$3 = 2 e^{0, 015 t}$ , así que $e^{0, 015 t} = 1, 5$ .

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¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.