Módulo 0 · Tema 9 de 10

El plano cartesiano y la recta

Puntos, distancia, pendiente, ecuación de la recta, rectas paralelas y perpendiculares.

Al terminar podrás

Ubicar puntos en el plano y calcular la distancia y el punto medio entre dos puntos.
Calcular la pendiente de una recta y leerla como tasa de cambio.
Escribir la ecuación de una recta en sus distintas formas y pasar de una a otra.
Reconocer rectas paralelas y perpendiculares y hallar dónde se cortan dos rectas.
Modelar costo, depreciación, oferta y demanda con rectas.

7 secciones · 17 tipos de ejercicio

El plano cartesiano

Una recta numérica sirve para ubicar números en una línea. Si cruzas dos rectas numéricas en ángulo recto, una horizontal y otra vertical, puedes ubicar puntos en un plano. La horizontal es el eje $x$ , o eje de las abscisas. La vertical es el eje $y$ , o eje de las ordenadas. Se cruzan en el origen $(0, 0)$ .

Cada punto se describe con un par ordenado $(x, y)$ . El primer número dice cuánto moverse a la derecha (si es positivo) o a la izquierda (si es negativo). El segundo dice cuánto subir o bajar.

Los ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes, numerados en sentido contrario a las agujas del reloj.

Cuadrante	Signo de $x$	Signo de $y$	Ejemplo
I	$+$	$+$	$(3, 2)$
II	$-$	$+$	$(- 4, 1)$
III	$-$	$-$	$(- 2, - 3)$
IV	$+$	$-$	$(1, - 4)$

El orden importa

$(2, 5)$ y $(5, 2)$ son puntos distintos. Primero va siempre la $x$ . Los puntos que están sobre un eje, como $(0, 3)$ o $(- 2, 0)$ , no pertenecen a ningún cuadrante.

Compruébalo tú

Distancia y punto medio

Para medir la distancia entre dos puntos se arma un triángulo rectángulo. El lado horizontal mide la diferencia de las $x$ y el lado vertical la diferencia de las $y$ . La distancia que buscamos es la hipotenusa, y el teorema de Pitágoras dice cuánto mide.

Los catetos miden

3

4

, así que la distancia es

3^{2} + 4^{2} = 5

Definición

Distancia entre dos puntos

Para $P_{1} = (x_{1}, y_{1})$ y $P_{2} = (x_{2}, y_{2})$ :

d (P_{1}, P_{2}) = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

Como las diferencias van al cuadrado, da igual cuál punto llames primero.

Ejemplo

Calcular una distancia

Halla la distancia entre $A = (- 2, 1)$ y $B = (4, - 7)$ .

1
$Δ x = 4 - (- 2) = 6$ y $Δ y = - 7 - 1 = - 8$ .

1 de 2

Definición

Punto medio

El punto medio del segmento entre $P_{1}$ y $P_{2}$ es el promedio de las coordenadas:

M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

Ejemplo

Calcular un punto medio

Halla el punto medio entre $(- 2, 5)$ y $(4, - 1)$ .

1
$x_{M} = \frac{- 2 + 4}{2} = 1$ .

1 de 2

Cuidado con los negativos

Al restar una coordenada negativa usa paréntesis. Si $x_{1} = - 3$ y $x_{2} = 5$ , la diferencia es $5 - (- 3) = 8$ , no $2$ .

Compruébalo tú

La pendiente: cuánto sube por cada paso

Imagina que caminas sobre una recta de izquierda a derecha. La pendiente dice cuánto subes, o bajas, por cada unidad que avanzas en horizontal. Una recta tiene la misma pendiente en todas partes, y eso es justo lo que la hace recta.

Definición

Pendiente

La pendiente de la recta que pasa por $P_{1} = (x_{1}, y_{1})$ y $P_{2} = (x_{2}, y_{2})$ , con $x_{1} \neq = x_{2}$ , es

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{Δ y}{Δ x}

Se lee "cambio en $y$ entre cambio en $x$ ". La letra griega $Δ$ (delta) significa "cambio".

Ejemplo

Calcular e interpretar una pendiente

Halla la pendiente de la recta que pasa por $(1, - 1)$ y $(3, 5)$ .

1
$m = \frac{5 - ( - 1 )}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$ .

1 de 2

Pendiente	La recta	Ejemplo
$m > 0$	Sube	$y = 2 x + 1$
$m < 0$	Baja	$y = - x + 4$
$m = 0$	Horizontal	$y = 3$
No existe	Vertical	$x = - 2$

Sube o baja leyendo de izquierda a derecha. En una recta vertical

Δ x = 0

y no se puede dividir.

La pendiente es una tasa de cambio

Si el costo de producir $q$ unidades es $C (q) = 12 q + 800$ , la pendiente $12$ dice que cada unidad adicional sube el costo en 12 dólares. En economía eso se llama costo marginal.

Si la cantidad demandada de un bien es $q = 500 - 3 p$ , la pendiente $- 3$ dice que cada dólar que sube el precio se venden 3 unidades menos. El signo negativo es la ley de la demanda.

Resta en el mismo orden

Si arriba haces $y_{2} - y_{1}$ , abajo va $x_{2} - x_{1}$ , no $x_{1} - x_{2}$ . Mezclar el orden cambia el signo de la pendiente.

Compruébalo tú

La ecuación de la recta

Una recta queda determinada por un punto y su pendiente. Si $(x, y)$ es cualquier otro punto de la recta, la pendiente entre $(x_{1}, y_{1})$ y $(x, y)$ tiene que dar $m$ :

\frac{y - y _{1}}{x - x _{1}} = m

Multiplicando por $x - x_{1}$ sale la primera forma de la ecuación. Las demás son reacomodos de la misma igualdad.

Definición

Formas de la ecuación de la recta

Punto-pendiente. Conviene cuando conoces un punto y la pendiente.

y - y_{1} = m (x - x_{1})

Pendiente-ordenada. Se leen directo la pendiente $m$ y el corte $b$ con el eje $y$ .

y = m x + b

General. Así viene en muchos ejercicios.

A x + B y + C = 0

Horizontal y vertical. La primera tiene pendiente cero y la segunda no tiene pendiente.

y = k x = k

y = x + 2

pendiente m

1

corte b

2

Mueve

m

y mira cómo cambia la inclinación. Mueve

b

y la recta sube o baja sin girar, porque

b

es el punto donde corta al eje

y

Ejemplo

Recta por dos puntos

Halla la ecuación de la recta que pasa por $(2, 1)$ y $(4, 7)$ .

1
Pendiente: $m = \frac{7 - 1}{4 - 2} = 3$ .

1 de 4

Definición

De la forma general a la pendiente

En $A x + B y + C = 0$ con $B \neq = 0$ se despeja $y$ : $B y = - A x - C$ , y al dividir entre $B$ queda $y = - \frac{A}{B} x - \frac{C}{B}$ . Por lo tanto

m = - \frac{A}{B} b = - \frac{C}{B}

Pregunta de parcial

¿La pendiente de $5 a x - 8 b y - 2 = 0$ es $\frac{5 a}{8 b}$ ? Aquí $A = 5 a$ y $B = - 8 b$ , con todo y signo. Entonces $m = - \frac{5 a}{- 8 b} = \frac{5 a}{8 b}$ . Es verdadero, siempre que $b \neq = 0$ . El menos de la fórmula y el de $B$ se cancelan, y ahí es donde muchos se equivocan.

Ejemplo

Cortes con los ejes

Halla dónde corta la recta $2 x + 3 y - 6 = 0$ a cada eje.

1
Eje $y$ : hacemos $x = 0$ . Queda $3 y - 6 = 0$ , así que $y = 2$ . Corta en $(0, 2)$ .

1 de 3

Compruébalo tú

Rectas horizontales y verticales

$y = 4$ es horizontal. Todos sus puntos tienen altura 4 y su pendiente es cero.

$x = - 2$ es vertical. Todos sus puntos tienen $x = - 2$ y no tiene pendiente. Además una recta vertical no es una función de $x$ , porque a $x = - 2$ le corresponden infinitos valores de $y$ . Esto aparece como verdadero o falso en los parciales.

Compruébalo tú

Rectas paralelas y perpendiculares

Dos rectas paralelas nunca se cortan, porque tienen la misma inclinación. Dos rectas perpendiculares se cortan formando un ángulo recto. Las dos situaciones se reconocen solo mirando las pendientes.

Definición

Criterio con las pendientes

Si $L_{1}$ y $L_{2}$ tienen pendientes $m_{1}$ y $m_{2}$ :

Son paralelas cuando $m_{1} = m_{2}$ .
Son perpendiculares cuando $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ , es decir, $m_{2} = - \frac{1}{m _{1}}$ . La pendiente se invierte y se le cambia el signo.

Las dos azules tienen pendiente

2

y son paralelas. La roja tiene pendiente

- \frac{1}{2}

y es perpendicular a ambas, porque

2 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 1

Ejemplo

Paralela a una recta en forma general

Halla la recta paralela a $8 x - y + 3 = 0$ que pasa por $(1, 2)$ .

1
Pendiente de la recta dada: $A = 8$ y $B = - 1$ , así que $m = - \frac{8}{- 1} = 8$ .

1 de 3

Ejemplo

Perpendicular por un punto

Halla la recta perpendicular a $y = \frac{2}{3} x + 1$ que pasa por $(2, - 1)$ .

1
La pendiente dada es $\frac{2}{3}$ . La perpendicular tiene $m = - \frac{3}{2}$ .

1 de 3

Lo vas a volver a usar

En el tema de recta tangente te pedirán la tangente a una curva que sea paralela a una recta dada, por ejemplo a $8 x - y + 3 = 0$ . El primer paso siempre es el mismo: sacar la pendiente de la recta dada.

Compruébalo tú

Dónde se cortan dos rectas

El punto donde se cortan dos rectas está en las dos a la vez, así que cumple las dos ecuaciones. Encontrarlo es resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Si las dos rectas vienen despejadas como $y = \dots$ , lo más rápido es igualarlas.

Ejemplo

Igualando

Halla el punto de corte de $y = 2 x - 1$ y $y = - x + 5$ .

1
En el punto de corte las dos $y$ son iguales: $2 x - 1 = - x + 5$ .

1 de 3

Ejemplo

Por sustitución

Halla el punto de corte de $2 x + 3 y = 12$ y $x - y = 1$ .

1
De la segunda: $x = y + 1$ .

1 de 3

Cuando no hay un único punto

Si las dos rectas tienen la misma pendiente y son distintas, son paralelas y no se cortan: el sistema no tiene solución. Si resultan ser la misma recta, tienen infinitos puntos en común.

Compruébalo tú

Rectas en economía

Muchos modelos económicos sencillos son rectas. En todos, la pendiente es una tasa de cambio y la ordenada al origen es el valor de partida.

Costo lineal

Si cada unidad cuesta lo mismo de producir, el costo total es una recta: $C (q) = c_{v} q + C_{F}$ . La pendiente $c_{v}$ es el costo variable por unidad. La ordenada $C_{F}$ es el costo fijo, lo que pagas aunque no produzcas nada, como el alquiler.

Ejemplo

Costo a partir de dos datos

Producir 100 unidades cuesta 3500 dólares y producir 300 cuesta 7500. Halla la función de costo, suponiendo que es lineal.

1
Pendiente: $c_{v} = \frac{7500 - 3500}{300 - 100} = \frac{4000}{200} = 20$ dólares por unidad.

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Depreciación lineal

Una máquina pierde valor con el tiempo. En la depreciación lineal pierde la misma cantidad cada año, así que su valor es $V (t) = V_{0} - d t$ , con pendiente negativa $- d$ .

Ejemplo

Una máquina que se deprecia

Una máquina cuesta 24000 dólares y a los 8 años no vale nada. ¿Cuánto vale a los 5 años?

1
Pierde $\frac{24000}{8} = 3000$ dólares por año.

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Oferta, demanda y equilibrio

La demanda baja cuando sube el precio, así que su recta tiene pendiente negativa. La oferta sube con el precio, con pendiente positiva. El equilibrio es el punto donde se cortan: la cantidad que los consumidores quieren comprar coincide con la que los productores quieren vender.

Ejemplo

Punto de equilibrio

La demanda es $p = 100 - 2 q$ y la oferta es $p = 20 + 3 q$ . Halla el equilibrio.

1
Igualamos los precios: $100 - 2 q = 20 + 3 q$ .

1 de 3

Cantidad en el eje horizontal y precio en el vertical. Las rectas se cortan en el equilibrio.

Una costumbre de los economistas

Aunque la cantidad demandada depende del precio, en los gráficos de economía el precio va en el eje vertical y la cantidad en el horizontal. Por eso muchas veces la demanda se escribe como $p$ en función de $q$ .

Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.