Módulo 0 · Tema 8 de 10

Desigualdades e inecuaciones

Resolver desigualdades lineales, cuadráticas, racionales y con valor absoluto, y escribir la solución como intervalo.

Al terminar podrás

Usar las propiedades de las desigualdades, en especial voltear el signo al multiplicar o dividir por un negativo.
Resolver inecuaciones lineales, dobles, cuadráticas, polinómicas y racionales con tabla de signos.
Resolver desigualdades con valor absoluto leyéndolas como distancias.
Escribir la solución como intervalo y usarla para hallar el dominio de una función.

7 secciones · 18 tipos de ejercicio

Qué es una desigualdad

Una ecuación pregunta para qué valores dos cosas son iguales. Una inecuación pregunta para qué valores una es mayor o menor que la otra. Por eso la respuesta casi nunca es un número suelto. Es un tramo entero de la recta, un intervalo.

Hay cuatro símbolos: $<$ (menor que), $>$ (mayor que), $\leq$ (menor o igual) y $\geq$ (mayor o igual). En la recta numérica el menor es siempre el que está más a la izquierda. Así $- 5 < - 2$ , aunque 5 parezca más grande que 2.

Definición

Propiedades de las desigualdades

Si $a < b$ y $c$ es un número real:

$a + c < b + c$ . Sumar o restar lo mismo en ambos lados no cambia nada.
Si $c > 0$ , entonces $a c < b c$ . Multiplicar o dividir por un positivo tampoco cambia nada.
Si $c < 0$ , entonces $a c > b c$ . Multiplicar o dividir por un negativo voltea el sentido de la desigualdad.

Lo mismo vale para $>$ , $\leq$ y $\geq$ .

La tercera regla se entiende con un ejemplo. Sabemos que $2 < 5$ . Si multiplicamos los dos por $- 1$ quedan $- 2$ y $- 5$ , y en la recta el $- 2$ está a la derecha del $- 5$ . Es decir, $- 2 > - 5$ . Multiplicar por un negativo refleja la recta como un espejo, y el orden se invierte.

En ambos lados	¿Se voltea?	Desde $x < 3$
Sumar o restar	No	$x + 2 < 5$
Multiplicar o dividir por un positivo	No	$4 x < 12$
Multiplicar o dividir por un negativo	Sí	$- 2 x > - 6$

Ejemplo

Despejar con un coeficiente negativo

Resuelve $- 3 x < 12$ .

1
Para dejar sola a la $x$ hay que dividir entre $- 3$ .

1 de 3

El error que más puntos cuesta

Olvidar voltear la desigualdad al multiplicar o dividir por un negativo. Si tienes dudas, toma un número de tu resultado y pruébalo en la desigualdad original. Si no la cumple, algo se volteó mal.

Compruébalo tú

Inecuaciones lineales

Una inecuación es lineal cuando la $x$ aparece solo elevada a la uno, como en $2 x - 3 > 7$ . Se resuelve igual que una ecuación lineal, con un solo cuidado extra: si en algún paso multiplicas o divides por un negativo, volteas el signo.

Al final la solución se escribe como intervalo. Paréntesis si el extremo no entra, corchete si entra, y el infinito siempre con paréntesis.

Ejemplo

Con la x en ambos lados

Resuelve $4 x - 7 \leq 2 x + 5$ .

1
Restamos $2 x$ en ambos lados para juntar las $x$ : $2 x - 7 \leq 5$ .

1 de 3

(-∞, 6]

Todos los números menores o iguales que 6. El 6 entra, por eso el punto va relleno.

Ejemplo

Cuando toca voltear

Resuelve $5 - 3 x > 11$ .

1
Restamos $5$ en ambos lados: $- 3 x > 6$ .

1 de 3

¿Cuántas unidades hay que vender para ganar?

Una empresa vende cada unidad a 25 dólares, cada unidad le cuesta 15 y tiene un costo fijo de 2000 (números de ejemplo). Gana dinero cuando el ingreso supera al costo:

25 q > 2000 + 15 q

Restando $15 q$ queda $10 q > 2000$ , es decir, $q > 200$ . Con más de 200 unidades vendidas la utilidad es positiva.

Compruébalo tú

Inecuaciones dobles

A veces la expresión está atrapada entre dos números, como en $- 3 \leq 2 x + 1 < 7$ . Son dos desigualdades a la vez y se resuelven juntas. Lo que hagas en el centro lo haces también en los dos extremos.

Ejemplo

Doble desigualdad

Resuelve $- 3 \leq 2 x + 1 < 7$ .

1
Restamos $1$ en las tres partes: $- 4 \leq 2 x < 6$ .

1 de 2

Ejemplo

Doble desigualdad con un negativo

Resuelve $- 1 < 3 - 2 x \leq 5$ .

1
Restamos $3$ en las tres partes: $- 4 < - 2 x \leq 2$ .

1 de 3

Escribe siempre de menor a mayor

Después de voltear queda algo como $2 > x \geq - 1$ . Es correcto, pero para pasarlo a intervalo léelo desde el número menor: $- 1 \leq x < 2$ . Cada extremo conserva su símbolo. Una escritura como $5 < x < 2$ no tiene sentido, porque ningún número es mayor que 5 y menor que 2 a la vez.

Compruébalo tú

Cuadráticas y polinómicas: la tabla de signos

Con $x^{2}$ ya no se puede despejar como antes. La idea nueva es comparar con cero y estudiar el signo.

Un producto es positivo cuando tiene una cantidad par de factores negativos y negativo cuando la cantidad es impar. Además, un factor como $x - 3$ solo cambia de signo en su raíz, $x = 3$ . Entonces basta ubicar las raíces de los factores para saber el signo del producto en cada tramo de la recta.

Definición

Método de la tabla de signos

Pasa todo a un lado para comparar con cero.
Factoriza.
Marca en la recta las raíces de cada factor. Esos puntos dividen la recta en tramos.
En cada tramo, decide el signo de cada factor probando un número cualquiera del tramo, y multiplica los signos.
Quédate con los tramos que pide la desigualdad. Con $\leq$ o $\geq$ las raíces también entran.

Ejemplo

Una cuadrática

Resuelve $x^{2} - x - 6 > 0$ .

1
Factorizamos: dos números que multiplicados den $- 6$ y sumados $- 1$ son $- 3$ y $2$ . Queda $(x - 3) (x + 2) > 0$ .

1 de 4

	$(- \infty, - 2)$	$(- 2, 3)$	$(3, + \infty)$
$x + 2$	$-$	$+$	$+$
$x - 3$	$-$	$-$	$+$
$(x - 3) (x + 2)$	$+$	$-$	$+$

Para llenar cada columna basta probar un número del tramo, por ejemplo

- 5

0

5

La parábola

y = x^{2} - x - 6

está por encima del eje

x

a la izquierda de

- 2

y a la derecha de

3

. La tabla de signos dice lo mismo sin dibujar.

Compruébalo tú

$x^{2} < 9$ no es $x < \pm 3$

Sacar raíz en ambos lados es una trampa. Escribe $x^{2} - 9 < 0$ , factoriza $(x - 3) (x + 3) < 0$ y usa la tabla: la solución es $- 3 < x < 3$ . En cambio $x^{2} > 9$ da $x < - 3$ o $x > 3$ .

Cuando no hay raíces reales

Si el discriminante $b^{2} - 4 a c$ es negativo, la parábola no corta el eje $x$ y tiene siempre el mismo signo. Por ejemplo, $x^{2} + 2 x + 5 > 0$ se cumple para todo $x$ real, y $x^{2} + 2 x + 5 < 0$ no tiene solución.

Ejemplo

Un polinomio ya factorizado

Resuelve $x (x - 2) (x + 3) \leq 0$ .

1
Las raíces son $- 3$ , $0$ y $2$ . Hay cuatro tramos.

1 de 3

Factores al cuadrado

Un factor como $(x - 1)^{2}$ nunca es negativo. No cambia el signo al pasar por $x = 1$ , solo se anula ahí. Por eso en $(x - 1)^{2} (x + 2) > 0$ la solución es $(- 2, 1) \cup (1, + \infty)$ . El $1$ se excluye porque ahí el producto vale cero.

Compruébalo tú

Inecuaciones racionales

Cuando la $x$ aparece en un denominador, la tentación es multiplicar todo por ese denominador para quitarlo. No lo hagas. El denominador puede ser positivo para unos $x$ y negativo para otros, y no sabes si toca voltear la desigualdad o no.

Definición

Método para inecuaciones racionales

Pasa todo a un lado y compara con cero.
Saca común denominador para que quede una sola fracción.
Factoriza numerador y denominador.
Haz la tabla de signos con las raíces de los dos. La división sigue la misma ley de signos que la multiplicación.
Las raíces del denominador nunca entran en la solución, aunque la desigualdad sea $\leq$ o $\geq$ , porque ahí la fracción no existe.

Ejemplo

Fracción comparada con cero

Resuelve $\frac{x - 1}{x + 3} \geq 0$ .

1
Puntos críticos: $x = 1$ anula el numerador y $x = - 3$ anula el denominador.

1 de 3

Ejemplo

Fracción comparada con un número

Resuelve $\frac{2 x + 1}{x - 1} < 1$ .

1
Restamos $1$ : $\frac{2 x + 1}{x - 1} - 1 < 0$ .

1 de 3

Por qué no se multiplica por el denominador

Si en $\frac{2 x + 1}{x - 1} < 1$ multiplicas por $x - 1$ sin pensar, llegas a $2 x + 1 < x - 1$ , o sea $x < - 2$ . Pero $x = 0$ cumple la inecuación original, porque da $- 1 < 1$ , y no está en $x < - 2$ . Se perdió la solución entera porque para $x < 1$ el denominador es negativo y había que voltear.

Compruébalo tú

Desigualdades con valor absoluto

El valor absoluto $∣ x ∣$ es la distancia de $x$ al cero, así que nunca es negativo: $∣ 5 ∣ = 5$ y $∣ - 5 ∣ = 5$ . Más en general, $∣ x - a ∣$ es la distancia entre $x$ y $a$ sobre la recta. Con esa lectura estas inecuaciones se resuelven casi sin cuentas.

Definición

Las dos reglas

Si $r > 0$ :

∣ x - a ∣ < r \Leftrightarrow a - r < x < a + r

∣ x - a ∣ > r \Leftrightarrow x < a - r o x > a + r

La primera dice "a menos de $r$ de $a$ " y da un intervalo centrado en $a$ . La segunda dice "a más de $r$ de $a$ " y da los dos lados de afuera. Con $\leq$ y $\geq$ los extremos entran.

Ejemplo

Menor que: un solo tramo

Resuelve $∣ x - 3 ∣ < 2$ .

1
Buscamos los números que están a menos de 2 unidades del 3.

1 de 2

Ejemplo

Mayor que: dos tramos

Resuelve $∣ 2 x + 1 ∣ \geq 5$ .

1
Se parte en dos casos: $2 x + 1 \leq - 5$ o $2 x + 1 \geq 5$ .

1 de 2

|2x + 1| ≥ 5

La solución son los dos lados de afuera, con los extremos incluidos.

Ojo con el signo de adentro y con los negativos

$∣ x + 4 ∣$ es $∣ x - (- 4)∣$ , la distancia a $- 4$ , no a $4$ .

Si el lado derecho es negativo, piensa antes de calcular. $∣ x - 1 ∣ < - 2$ no tiene solución, porque una distancia no es negativa. Y $∣ x - 1 ∣ > - 2$ se cumple para todo $x$ .

Compruébalo tú

Para qué sirven: hallar dominios

En Matemática I vas a usar las inecuaciones sobre todo para encontrar el dominio de una función, es decir, los valores de $x$ donde la fórmula tiene sentido. Tres reglas cubren casi todos los casos:

Una raíz cuadrada (o de índice par) necesita que lo de adentro sea mayor o igual que cero.
Un denominador no puede valer cero.
Un logaritmo necesita que lo de adentro sea estrictamente positivo.

Cada regla se convierte en una inecuación. El dominio es su solución, o la intersección de las soluciones si hay varias condiciones.

Ejemplo

Raíz de una cuadrática

Halla el dominio de $f (x) = x^{2} - 4$ .

1
La raíz pide $x^{2} - 4 \geq 0$ .

1 de 3

Ejemplo

Raíz y denominador a la vez

Halla el dominio de $g (x) = \frac{x + 1}{x - 3}$ .

1
La raíz pide $x + 1 \geq 0$ , es decir, $x \geq - 1$ .

1 de 3

Así viene en los parciales

En los parciales de la cátedra aparecen dominios como el de $\frac{∣ x ∣ - 5}{∣ 2 x + 1 ∣ - 11}$ . Se arma por partes. La raíz pide $∣ x ∣ \geq 5$ , o sea $x \leq - 5$ o $x \geq 5$ . El denominador se anula cuando $∣ 2 x + 1 ∣ = 11$ , es decir, en $x = 5$ y en $x = - 6$ . Quitando esos dos puntos:

(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 5] \cup (5, + \infty)

Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.