Módulo 0 · Tema 7 de 10

Ecuaciones

Ecuaciones lineales, cuadráticas, con fracciones y con raíces, y sistemas de dos ecuaciones.

Al terminar podrás

Resolver ecuaciones lineales, incluso con paréntesis y fracciones.
Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización y con la fórmula general, y leer el discriminante.
Resolver ecuaciones bicuadráticas, con radicales, con la incógnita en el denominador y con valor absoluto, verificando las soluciones.
Resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas por sustitución, igualación y reducción.
Plantear y resolver problemas, entre ellos el punto de equilibrio y el equilibrio de mercado.

7 secciones · 18 tipos de ejercicio

Qué es una ecuación. Ecuaciones lineales

Una ecuación es una igualdad con un número desconocido, la incógnita. Resolverla es encontrar todos los valores que hacen cierta la igualdad. En $3 x + 5 = 20$ el único valor que funciona es $x = 5$ , porque $3 \cdot 5 + 5 = 20$ .

Piensa en una balanza en equilibrio. Si haces lo mismo en los dos platos (sumar, restar, multiplicar o dividir por un número distinto de cero), la balanza sigue equilibrada. Con esa regla se va aislando la $x$ .

Definición

Ecuación lineal

Es la que, después de simplificar, queda de la forma $a x + b = 0$ con $a \neq = 0$ . Tiene una única solución:

x = - \frac{b}{a}

Ejemplo

Con paréntesis

Resuelve $2 (x - 3) - 4 = 5 x + 1$ .

1
Distribuimos el $2$ : $2 x - 6 - 4 = 5 x + 1$ , o sea $2 x - 10 = 5 x + 1$ .

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Comprueba siempre

Sustituye el resultado en la ecuación original. Si los dos lados dan lo mismo, está bien. Con $x = - \frac{11}{3}$ , el lado izquierdo da $2 (- \frac{11}{3} - 3) - 4 = - \frac{52}{3}$ y el derecho $5 (- \frac{11}{3}) + 1 = - \frac{52}{3}$ .

Ejemplo

Con fracciones

Resuelve $\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3} = 2$ .

1
El mcm de $2$ y $3$ es $6$ . Multiplicamos todos los términos por $6$ : $3 x - 2 (x - 1) = 12$ .

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Multiplica todos los términos

Al multiplicar por el mcm también se multiplica el lado derecho. Y el menos delante de una fracción afecta a todo su numerador: $- \frac{x - 1}{3}$ por $6$ es $- 2 (x - 1) = - 2 x + 2$ .

Compruébalo tú

La incógnita en el denominador

Si la $x$ aparece en un denominador, hay valores prohibidos: los que anulan ese denominador. El método es anotar esas restricciones, multiplicar por el mcm para quitar los denominadores, resolver y descartar cualquier resultado prohibido.

Ejemplo

Multiplicar en cruz

Resuelve $\frac{3}{x - 2} = \frac{5}{x + 2}$ .

1
Restricciones: $x \neq = 2$ y $x \neq = - 2$ .

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Ejemplo

Una solución que no sirve

Resuelve $\frac{x}{x - 1} = \frac{1}{x - 1} + 2$ .

1
Restricción: $x \neq = 1$ .

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Anota las restricciones antes de empezar

Al multiplicar por una expresión con $x$ pueden aparecer soluciones falsas. Si no anotaste qué valores estaban prohibidos, no te vas a dar cuenta.

Compruébalo tú

Ecuaciones cuadráticas

Una ecuación cuadrática tiene la forma $a x^{2} + b x + c = 0$ con $a \neq = 0$ . Puede tener dos soluciones, una o ninguna. Hay dos caminos para resolverla: factorizar o usar la fórmula general.

Definición

Propiedad del producto cero

Si $A \cdot B = 0$ , entonces $A = 0$ o $B = 0$ . Por eso, si factorizas $a x^{2} + b x + c$ , cada factor igualado a cero da una solución.

Ejemplo

Por factorización

Resuelve $x^{2} - x - 6 = 0$ .

1
Factorizamos: $(x - 3) (x + 2) = 0$ .

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Ejemplo

Cuadráticas incompletas

Resuelve $x^{2} = 5 x$ y $x^{2} = 9$ .

1
$x^{2} = 5 x$ : pasamos todo a un lado, $x^{2} - 5 x = 0$ , y sacamos factor común: $x (x - 5) = 0$ . Soluciones: $0$ y $5$ .

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No dividas entre x

En $x^{2} = 5 x$ , dividir entre $x$ deja solo $x = 5$ y se pierde $x = 0$ . Nunca se divide entre algo que puede valer cero. Saca factor común.

Definición

Fórmula general

Las soluciones de $a x^{2} + b x + c = 0$ son

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

El número $Δ = b^{2} - 4 a c$ se llama discriminante.

Discriminante	Soluciones	La parábola
$Δ > 0$	Dos reales distintas	Corta el eje $x$ dos veces
$Δ = 0$	Una (doble)	Toca el eje $x$ en un punto
$Δ < 0$	Ninguna real	No toca el eje $x$

f (x) = x^{2} - 2 x + c, c = - 3

c

- 3

Aquí

Δ = 4 - 4 c

. Mueve

c

: con

c < 1

hay dos cortes, con

c = 1

la parábola toca el eje en

x = 1

y con

c > 1

ya no lo toca.

Ejemplo

Con la fórmula general

Resuelve $2 x^{2} - 4 x - 1 = 0$ .

1
$a = 2$ , $b = - 4$ , $c = - 1$ .

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El signo de b

En la fórmula va $- b$ . Si $b = - 4$ , entonces $- b = 4$ . Y en $b^{2}$ el resultado siempre es positivo: $(- 4)^{2} = 16$ .

Compruébalo tú

Bicuadráticas y ecuaciones con radicales

Algunas ecuaciones no son cuadráticas, pero se convierten en una con un cambio de variable o elevando al cuadrado.

Definición

Ecuación bicuadrática

Tiene la forma $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ . Con el cambio $u = x^{2}$ queda $a u^{2} + b u + c = 0$ , una cuadrática en $u$ . Al final se deshace el cambio con $x = \pm u$ , solo para los $u \geq 0$ .

Ejemplo

Cuatro soluciones

Resuelve $x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$ .

1
Con $u = x^{2}$ : $u^{2} - 13 u + 36 = 0$ .

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Ejemplo

Un valor de u que no sirve

Resuelve $x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$ .

1
Con $u = x^{2}$ : $u^{2} - 3 u - 4 = 0$ , que da $(u - 4) (u + 1) = 0$ .

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Ecuaciones con radicales

Para quitar una raíz cuadrada se aísla la raíz en un lado y se elevan los dos lados al cuadrado. El problema es que elevar al cuadrado puede crear soluciones que no estaban: $- 2 \neq = 2$ , pero $(- 2)^{2} = 2^{2}$ . Por eso siempre hay que verificar en la ecuación original.

Ejemplo

Verificar los candidatos

Resuelve $x + 7 = x + 1$ .

1
Elevamos al cuadrado: $x + 7 = (x + 1)^{2} = x^{2} + 2 x + 1$ .

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La raíz cuadrada nunca es negativa

siempre da un número mayor o igual que cero. Si al verificar el otro lado da negativo, el candidato se descarta.

Compruébalo tú

Ecuaciones con valor absoluto

El valor absoluto $∣ a ∣$ es la distancia de $a$ al cero, así que nunca es negativo: $∣ 5 ∣ = 5$ y $∣ - 5 ∣ = 5$ . Si $∣ A ∣ = 7$ , lo que está adentro vale $7$ o vale $- 7$ .

Definición

Cómo se resuelve

Si $k > 0$ :

∣ A ∣ = k ⟺ A = k o A = - k

Si $k = 0$ , la única opción es $A = 0$ . Si $k < 0$ , no hay solución.

Ejemplo

Dos casos

Resuelve $∣ 2 x - 3 ∣ = 7$ .

1
Caso positivo: $2 x - 3 = 7$ , así que $x = 5$ .

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|x - 1| = 3

∣ x - 1 ∣

es la distancia entre

x

1

. La ecuación

∣ x - 1 ∣ = 3

pide los puntos a distancia

3

del

1

: son

- 2

4

Un valor absoluto no da negativo

$∣ x + 4 ∣ = - 2$ no tiene solución, y no hace falta hacer cuentas para saberlo.

Compruébalo tú

Sistemas de dos ecuaciones

Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas pide un par de valores $(x, y)$ que cumpla las dos a la vez. Cada ecuación lineal es una recta, y la solución es el punto donde se cortan.

Ejemplo

Tres métodos para el mismo sistema

Resuelve ${x + 2 y = 8 3 x - y = 3$

1
Sustitución. Despeja una incógnita y sustitúyela en la otra ecuación. De la segunda, $y = 3 x - 3$ . En la primera: $x + 2 (3 x - 3) = 8$ , o sea $7 x - 6 = 8$ y $x = 2$ . Entonces $y = 3 \cdot 2 - 3 = 3$ .

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Las dos rectas se cortan en

(2, 3)

, la solución del sistema.

Cuando no hay una única solución

Si las rectas son paralelas, no se cortan y el sistema no tiene solución. Si son la misma recta, hay infinitas. Lo notas porque al reducir desaparecen las dos incógnitas: queda algo falso como $0 = 5$ (sin solución) o algo siempre cierto como $0 = 0$ (infinitas soluciones).

Equilibrio de mercado

Si la oferta es $p = 2 q + 10$ y la demanda es $p = 100 - 3 q$ (datos de ejemplo), el equilibrio es el punto donde coinciden. Igualando, $2 q + 10 = 100 - 3 q$ , así que $q = 18$ y $p = 46$ . A ese precio se vende exactamente lo que se produce.

Compruébalo tú

Plantear problemas

Lo difícil de un problema no suele ser resolver la ecuación sino escribirla. Un método que funciona:

Lee todo el enunciado y di con tus palabras qué te piden.
Ponle nombre a la incógnita, con unidades: " $q$ = unidades vendidas al mes".
Traduce cada frase a una expresión.
Resuelve y revisa que la respuesta tenga sentido. Una cantidad o un precio no pueden ser negativos.

En palabras	En símbolos
El doble de un número	$2 x$
Un número aumentado en $5$	$x + 5$
La mitad de un número	$\frac{x}{2}$
Dos números consecutivos	$x$ y $x + 1$
El $15%$ de una cantidad	$0, 15 x$
Ingreso: precio por cantidad	$I = p \cdot q$
Utilidad: ingreso menos costo	$U = I - C$

Ejemplo

Un reparto

Ana tiene el triple de dinero que Luis. Entre los dos tienen $120$ dólares. ¿Cuánto tiene cada uno?

1
Sea $x$ el dinero de Luis. Ana tiene $3 x$ .

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Ejemplo

Punto de equilibrio

Una fábrica tiene costos fijos de $2000$ dólares al mes y gasta $15$ dólares por unidad. Vende cada unidad a $25$ dólares. ¿Cuántas unidades debe vender para no perder? (Datos de ejemplo.)

1
Sea $q$ el número de unidades. Costo: $C = 2000 + 15 q$ . Ingreso: $I = 25 q$ .

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Margen de contribución

Cada unidad vendida en el ejemplo anterior deja $25 - 15 = 10$ dólares por encima de su costo variable. Ese margen es el que va pagando el costo fijo, y hacen falta $2000/10 = 200$ unidades para cubrirlo completo. Por debajo de $200$ la empresa pierde.

Ejemplo

Precio y demanda

La demanda de un producto es $q = 100 - 2 p$ , donde $p$ es el precio en dólares. ¿A qué precio el ingreso es de $1200$ dólares? (Datos de ejemplo.)

1
Ingreso: $I = p \cdot q = p (100 - 2 p)$ .

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Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.