Módulo 0 · Tema 6 de 10

Fracciones algebraicas

Simplificar y operar cocientes de polinomios, y racionalizar expresiones con raíces.

Al terminar podrás

Hallar los valores que anulan el denominador y escribir el dominio de una fracción algebraica.
Simplificar fracciones algebraicas factorizando y cancelando solo factores.
Sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas, incluidas las fracciones complejas.
Racionalizar denominadores y numeradores con el conjugado para quitar indeterminaciones $\frac{0}{0}$ .

6 secciones · 12 tipos de ejercicio

Qué es una fracción algebraica y dónde existe

Una fracción algebraica es un cociente de polinomios, como $\frac{x + 1}{x ^{2} - 4}$ . Funciona igual que una fracción de números, con una diferencia: como $x$ puede tomar muchos valores, hay que cuidar que el denominador nunca valga cero.

Dividir entre cero no está definido. Por eso, antes de operar, se buscan los valores de $x$ que anulan el denominador y se dejan por fuera.

Definición

Dominio de una fracción algebraica

El dominio de $\frac{P ( x )}{Q ( x )}$ son todos los números reales menos las raíces del denominador:

D = R - {x / Q (x) = 0}

Ejemplo

Buscar los valores prohibidos

Halla el dominio de $\frac{x + 1}{x ^{2} - 5 x + 6}$ .

1
Igualamos el denominador a cero: $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ .

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La gráfica de

\frac{1}{x - 2}

se rompe en

x = 2

. Ahí el denominador vale cero y la expresión no existe.

El numerador no restringe

Que el numerador valga cero no es problema: $\frac{0}{5} = 0$ . En $\frac{x + 1}{x ^{2} - 5 x + 6}$ el valor $x = - 1$ sí está en el dominio. Solo se excluyen las raíces del denominador.

Compruébalo tú

Simplificar

Una fracción se simplifica dividiendo el numerador y el denominador entre un mismo factor. Con números: $\frac{12}{18} = \frac{2 \cdot 6}{3 \cdot 6} = \frac{2}{3}$ . Con polinomios es igual, pero primero hay que factorizar para que los factores queden a la vista.

Ejemplo

Factorizar y cancelar

Simplifica $\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + x - 6}$ .

1
Numerador: diferencia de cuadrados, $(x - 3) (x + 3)$ .

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Solo se tachan factores

En $\frac{x + 2}{x + 5}$ no se puede tachar la $x$ , porque está sumando y no multiplicando. Una prueba rápida: con $x = 1$ la fracción vale $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ , y $\frac{2}{5}$ no es lo mismo.

Ejemplo

Factores opuestos

Simplifica $\frac{4 - x ^{2}}{x ^{2} - x - 2}$ .

1
Numerador: $(2 - x) (2 + x)$ . Denominador: $(x - 2) (x + 1)$ .

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\frac{x ^{2} - 1}{x - 1}

es la recta

y = x + 1

con un hueco en

x = 1

. Simplificar quita el factor, pero el hueco sigue ahí. Lo que pasa cerca de ese hueco es lo que estudia un límite.

Compruébalo tú

Multiplicar y dividir

Para multiplicar, se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador. Para dividir, se multiplica por la segunda fracción invertida. El truco está en no desarrollar nada: factoriza todo primero y cancela antes de multiplicar.

Definición

Producto y cociente

\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D} \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}

Ejemplo

Multiplicar

Calcula $\frac{x ^{2} - 4}{x + 3} \cdot \frac{x ^{2} + 3 x}{x - 2}$ .

1
Factorizamos: $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ y $x^{2} + 3 x = x (x + 3)$ .

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Ejemplo

Dividir

Calcula $\frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 2 x} \div \frac{x + 1}{x}$ .

1
Invertimos la segunda: $\frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 2 x} \cdot \frac{x}{x + 1}$ .

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En la división hay una restricción más

Al dividir entre $\frac{x + 1}{x}$ también se excluye $x = - 1$ , porque ahí esa fracción vale cero y no se puede dividir entre cero.

Compruébalo tú

Sumar y restar

Para sumar fracciones hace falta el mismo denominador. Con números buscas el mínimo común múltiplo: $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$ . Con polinomios, el mcm se arma factorizando los denominadores y tomando cada factor distinto con su mayor exponente.

Ejemplo

Denominadores sin factores comunes

Calcula $\frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x + 1}$ .

1
Los denominadores no comparten factores. El mcm es su producto: $(x - 1) (x + 1)$ .

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Ejemplo

Un denominador contiene al otro

Calcula $\frac{x}{x ^{2} - 4} - \frac{1}{x - 2}$ .

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$x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ ya contiene a $x - 2$ . El mcm es $(x - 2) (x + 2)$ .

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El menos afecta a todo el numerador

En el ejemplo anterior, $x - (x + 2) = - 2$ . Si escribes $x - x + 2$ te da $2$ y el resultado sale con el signo cambiado. Pon siempre paréntesis al restar un numerador.

Ejemplo

Tomado de un parcial

Simplifica $\frac{1}{1 - x} - \frac{3}{1 - x ^{3}}$ .

1
$1 - x^{3}$ es diferencia de cubos: $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ . Ese es el mcm.

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Costo promedio

Si producir $q$ unidades cuesta $C (q) = 2 q^{2} + 5 q + 50$ (números de ejemplo), el costo promedio por unidad es

\frac{C ( q )}{q} = 2 q + 5 + \frac{50}{q}

Partir la fracción así muestra que el costo fijo de $50$ se reparte entre más unidades a medida que $q$ crece.

Compruébalo tú

Fracciones complejas

Una fracción compleja tiene fracciones dentro del numerador, del denominador o de los dos. Aparece mucho cuando se calcula una derivada con la definición. Hay dos maneras de simplificarla:

Reducir el numerador a una sola fracción, hacer lo mismo con el denominador y después dividir.
Multiplicar arriba y abajo por el mcm de todos los denominadores pequeños.

Ejemplo

Multiplicar por el mcm

Simplifica $\frac{1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x ^{2}}}$ .

1
El mcm de los denominadores pequeños es $x^{2}$ . Multiplicamos arriba y abajo: $\frac{x ^{2} - x}{x ^{2} - 1}$ .

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Ejemplo

La que aparece al derivar 1/x

Simplifica $\frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h}$ .

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Numerador en una sola fracción: $\frac{x - ( x + h )}{x ( x + h )} = \frac{- h}{x ( x + h )}$ .

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Una raya de fracción por nivel

Escribe la raya principal más larga que las demás. $\frac{a / b}{c}$ y $\frac{a}{b / c}$ son cosas distintas: la primera es $\frac{a}{b c}$ y la segunda es $\frac{a c}{b}$ .

Compruébalo tú

Racionalizar

Racionalizar es sacar una raíz de donde estorba. En los ejercicios de nivelación suele estorbar en el denominador. En los límites $\frac{0}{0}$ con raíces estorba en el numerador. La técnica es la misma: multiplicar arriba y abajo por algo que haga desaparecer la raíz.

Definición

Conjugado

El conjugado de $a + b$ es $a - b$ , y al revés. Su producto es una diferencia de cuadrados:

(A - B) (A + B) = A - B^{2}

La raíz desaparece porque $(A)^{2} = A$ .

Ejemplo

Raíz sola en el denominador

Racionaliza $\frac{6}{3}$ .

1
Multiplicamos arriba y abajo por $3$ : $\frac{6 3}{3 \cdot 3} = \frac{6 3}{3}$ .

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Ejemplo

Binomio en el denominador

Racionaliza $\frac{4}{5 - 1}$ .

1
El conjugado de $5 - 1$ es $5 + 1$ .

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Ejemplo

Racionalizar el numerador, como en un límite

Reescribe $\frac{x + 4 - 2}{x}$ de modo que el denominador no se anule en $x = 0$ .

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Multiplicamos arriba y abajo por el conjugado del numerador, $x + 4 + 2$ . Abajo no desarrollamos.

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Ejemplo

Tomado de un parcial

Simplifica $\frac{x ^{2} + 5 - 3}{x - 2}$ para poder evaluarla en $x = 2$ .

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Conjugado del numerador: $x^{2} + 5 + 3$ .

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El conjugado solo cambia el signo del medio

$(x + 3)^{2}$ no elimina la raíz: da $x + 6 x + 9$ . Lo que la elimina es $(x + 3) (x - 3) = x - 9$ .

Raíces cúbicas

Para $3 A - B$ el factor que elimina la raíz sale de la diferencia de cubos:

(3 A - B) (3 A^{2} + B 3 A + B^{2}) = A - B^{3}

Lo vas a necesitar en algunos límites de los parciales.

Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.