Módulo 0 · Tema 5 de 10

Factorización

Factor común, diferencia de cuadrados, trinomios y Ruffini para escribir un polinomio como producto.

Al terminar podrás

Entender qué significa factorizar y para qué sirve en ecuaciones, fracciones y límites.
Sacar factor común y factorizar por agrupación.
Reconocer diferencias de cuadrados, trinomios cuadrados perfectos y sumas o diferencias de cubos.
Factorizar trinomios $x^{2} + b x + c$ y $a x^{2} + b x + c$ .
Usar el teorema del factor, las raíces racionales y Ruffini en polinomios de grado 3 o más.

6 secciones · 12 tipos de ejercicio

Qué significa factorizar

Factorizar es escribir algo como una multiplicación. Con números ya lo haces: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ . Con polinomios la idea es la misma. En vez de ver $x^{2} - x - 6$ como una suma de tres términos, lo escribes como el producto $(x - 3) (x + 2)$ .

Las dos formas valen lo mismo para cualquier $x$ . Lo que cambia es lo que puedes hacer con cada una.

Resolver ecuaciones. Un producto vale cero solo si alguno de sus factores vale cero. Si $(x - 3) (x + 2) = 0$ , entonces $x = 3$ o $x = - 2$ .
Simplificar fracciones. En $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ no se puede tachar nada hasta que factorizas el numerador: $\frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x + 3$ .
Calcular límites. En Matemática I vas a encontrar límites que dan $\frac{0}{0}$ . La mayoría se resuelve factorizando y cancelando el factor que produce el cero.

Ejemplo

Comprobar una factorización

¿Es cierto que $x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$ ?

1
Multiplica cada término del primer paréntesis por cada término del segundo: $x \cdot x + x \cdot 2 - 3 \cdot x - 3 \cdot 2$ .

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Factorizar es multiplicar al revés

Casi todo lo que sigue son productos notables leídos de derecha a izquierda. Si sabes que $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ , también sabes que $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ . Si los productos notables están flojos, repasa el tema Expresiones algebraicas.

Compruébalo tú

Factor común y agrupación

Es lo primero que se intenta, siempre. Si todos los términos comparten algo (un número, una letra o un paréntesis completo), ese algo sale afuera multiplicando. Adentro queda lo que sobra de cada término al dividirlo entre lo que sacaste.

Definición

Factor común

ab + a c = a (b + c)

El máximo factor común se arma con el máximo común divisor de los coeficientes y con cada letra que aparece en todos los términos, elevada al menor exponente con que aparece.

Ejemplo

Sacar el máximo factor común

Factoriza $6 x^{3} - 9 x^{2} + 3 x$ .

1
Los coeficientes son $6$ , $9$ y $3$ . Su máximo común divisor es $3$ .

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El 1 que se olvida

Cuando un término es justo el factor común, al dividir queda $1$ , no $0$ . En $3 x (2 x^{2} - 3 x + 1)$ ese $1$ viene del término $3 x$ . Si lo borras, al multiplicar de vuelta te falta un término.

Ejemplo

Un paréntesis como factor común

Factoriza $2 x (x - 1) + 5 (x - 1)$ .

1
Los dos términos comparten el paréntesis completo $(x - 1)$ .

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Agrupación

Con cuatro términos que no tienen un factor común para todos, se agrupan de a dos. Sacas factor común en cada grupo y, si los paréntesis que quedan son iguales, ese paréntesis sale como factor.

Ejemplo

Factorizar por agrupación

Factoriza $x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6$ .

1
Agrupamos: $(x^{3} - 2 x^{2}) + (3 x - 6)$ .

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Compruébalo tú

Diferencia de cuadrados, cuadrados perfectos y cubos

Hay formas que conviene reconocer de vista, porque se factorizan de inmediato. Son los productos notables leídos al revés.

Definición

Formas que se factorizan de vista

Diferencia de cuadrados

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Trinomio cuadrado perfecto

a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}

a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}

Diferencia de cubos

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

Suma de cubos

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

Ejemplo

Diferencia de cuadrados

Factoriza $9 x^{2} - 25$ y $x^{4} - 16$ .

1
$9 x^{2} = (3 x)^{2}$ y $25 = 5^{2}$ . Con $a = 3 x$ y $b = 5$ : $9 x^{2} - 25 = (3 x - 5) (3 x + 5)$ .

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La suma de cuadrados no se factoriza

$x^{2} + 4$ no se puede escribir como producto de factores con números reales. Nunca vale cero, porque $x^{2} \geq 0$ y le sumas $4$ . No la confundas con $x^{2} - 4$ .

Ejemplo

Trinomio cuadrado perfecto

Factoriza $4 x^{2} - 12 x + 9$ .

1
Los extremos son cuadrados: $4 x^{2} = (2 x)^{2}$ y $9 = 3^{2}$ .

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El cuadrado de una suma

$(a + b)^{2}$ no es $a^{2} + b^{2}$ . Falta el doble producto $2 ab$ . Por ejemplo, $(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ y no $x^{2} + 9$ .

Ejemplo

Suma y diferencia de cubos

Factoriza $x^{3} - 8$ y $27 x^{3} + 1$ .

1
$x^{3} - 8 = x^{3} - 2^{3}$ . Con $a = x$ y $b = 2$ : $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

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Los signos de los cubos

El binomio lleva el mismo signo que la expresión original. El trinomio lleva el signo contrario en el término del medio, y su último término siempre es positivo.

Compruébalo tú

Trinomios de segundo grado

Un trinomio como $x^{2} + 5 x + 6$ casi nunca es un cuadrado perfecto. Para factorizarlo hay que buscar dos números.

Definición

Trinomio $x^{2} + b x + c$

Si encuentras dos números $m$ y $n$ tales que

m \cdot n = c m + n = b

entonces $x^{2} + b x + c = (x + m) (x + n)$ .

Ejemplo

Buscar los dos números

Factoriza $x^{2} + x - 12$ .

1
Buscamos dos números que multiplicados den $- 12$ y sumados den $1$ .

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Los signos te orientan

Si $c > 0$ , los dos números tienen el mismo signo, que es el signo de $b$ .
Si $c < 0$ , tienen signos distintos, y el de mayor valor absoluto lleva el signo de $b$ .

f (x) = (x - 3) (x + 2)

r

3

s

2

La parábola corta el eje

x

justo en

x = r

y en

x = - s

. Cada corte con el eje corresponde a un factor: si la gráfica pasa por

x = 3

, el factor

(x - 3)

está en el polinomio.

Cuando el coeficiente de $x^{2}$ no es 1

Para $a x^{2} + b x + c$ con $a \neq = 1$ hay dos caminos. El primero es el método ac: buscas dos números que multiplicados den $a \cdot c$ y sumados den $b$ , partes el término del medio en dos y agrupas.

Ejemplo

Método ac

Factoriza $6 x^{2} + x - 2$ .

1
$a \cdot c = 6 \cdot (- 2) = - 12$ . Dos números con producto $- 12$ y suma $1$ son $4$ y $- 3$ .

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El segundo camino usa las raíces. Si la ecuación $a x^{2} + b x + c = 0$ tiene soluciones $x_{1}$ y $x_{2}$ , entonces

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Las soluciones salen de la fórmula general $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ , que verás en el tema Ecuaciones. Si $b^{2} - 4 a c < 0$ no hay soluciones reales y el trinomio no se factoriza.

Ejemplo

Con la fórmula general

Factoriza $2 x^{2} - 5 x - 3$ .

1
$b^{2} - 4 a c = 25 + 24 = 49$ , y $49 = 7$ .

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Compruébalo tú

Teorema del factor, raíces racionales y Ruffini

Para grado 3 o más no hay una fórmula práctica. La herramienta es encontrar una raíz, es decir, un número que al sustituirlo da cero, y dividir.

Definición

Teorema del factor

Si $P (a) = 0$ , entonces $(x - a)$ es factor de $P (x)$ . Y al revés: si $(x - a)$ es factor, $P (a) = 0$ .

Más en general, el teorema del resto dice que el residuo de dividir $P (x)$ entre $(x - a)$ es $P (a)$ .

Definición

Candidatos a raíz racional

Si $P (x)$ tiene coeficientes enteros, sus raíces racionales están entre los números $\pm \frac{p}{q}$ , donde $p$ divide al término independiente y $q$ divide al coeficiente principal. Si el coeficiente principal es $1$ , basta con probar los divisores del término independiente.

Ejemplo

Factorizar un polinomio de grado 3

Factoriza $P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ .

1
Candidatos: los divisores de $6$ , o sea $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ .

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111 - 2 1 - 1 - 5 - 1 - 6 6 - 6 0

Esa es la tabla de Ruffini con $x = 1$ . Arriba van los coeficientes de $P$ , en el medio los productos y abajo las sumas. El último número es el residuo.

No te saltes coeficientes

Si falta una potencia, su coeficiente es $0$ y tiene que ir en la tabla. Para $x^{3} - 7 x + 6$ los coeficientes son $1, 0, - 7, 6$ .

Ejemplo

Coeficiente principal distinto de 1

Factoriza $P (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2$ .

1
Candidatos: $\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}$ .

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Estrategia completa y para qué la vas a usar

Cuando te den un polinomio para factorizar, sigue este orden:

Saca factor común si lo hay.
Cuenta los términos. Con dos, piensa en diferencia de cuadrados o en suma o diferencia de cubos. Con tres, en trinomio cuadrado perfecto o en el método de los dos números. Con cuatro, en agrupación.
Si el grado es 3 o más y nada de lo anterior sirve, busca una raíz y usa Ruffini.
Revisa cada factor que quedó. Si alguno se puede seguir factorizando, sigue.

Ejemplo

Varios pasos seguidos

Factoriza completamente $2 x^{3} - 8 x$ .

1
Factor común $2 x$ : $2 x (x^{2} - 4)$ .

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Ejemplo

Tomado de un parcial

Factoriza $x^{3} - c x^{2} - c^{2} x + c^{3}$ , con $c \neq = 0$ .

1
Agrupa de a dos: $x^{2} (x - c) - c^{2} (x - c)$ .

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Ejemplo

Factorizar para simplificar

Simplifica $\frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} - x - 2}$ .

1
Numerador: $(x - 2) (x + 2)$ . Denominador: $(x - 2) (x + 1)$ .

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Utilidad y punto de equilibrio

Supón que la utilidad de una empresa es $U (q) = - q^{2} + 10 q - 16$ , en miles de dólares (números inventados para el ejemplo). Factorizar dice cuándo no gana ni pierde: $U (q) = - (q^{2} - 10 q + 16) = - (q - 2) (q - 8)$ . La utilidad es cero en $q = 2$ y en $q = 8$ , y entre esos dos niveles de producción es positiva.

Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.

Qué significa factorizar

Factor común y agrupación

Agrupación

Diferencia de cuadrados, cuadrados perfectos y cubos

Trinomios de segundo grado

Cuando el coeficiente de x2 no es 1

Teorema del factor, raíces racionales y Ruffini

Estrategia completa y para qué la vas a usar

Cuando el coeficiente de $x^{2}$ no es 1