Módulo 0 · Tema 4 de 10

Expresiones algebraicas

Letras que representan números, términos semejantes, valor numérico, polinomios y productos notables.

Al terminar podrás

Traducir enunciados en palabras a expresiones con letras.
Calcular el valor numérico de una expresión, con cuidado en los signos.
Reducir términos semejantes y sumar, restar y multiplicar polinomios.
Desarrollar productos notables sin multiplicar término a término.
Dividir polinomios con división larga y con Ruffini, y usar el teorema del resto.

6 secciones · 13 tipos de ejercicio

Del español al álgebra

En álgebra se usan letras para representar números que no conocemos o que pueden cambiar. Si no sabes cuánto cuesta un artículo, lo llamas $x$ , y puedes seguir razonando con él como si fuera un número. Una expresión algebraica combina números y letras con operaciones: $3 x + 5$ , $x^{2} - 2 x y$ , $\frac{q}{2}$ .

El primer paso de casi cualquier problema es traducir el enunciado a una expresión.

En palabras	En álgebra
El doble de un número	$2 x$
Un número aumentado en 5	$x + 5$
Un número disminuido en 3	$x - 3$
La mitad de un número	$\frac{x}{2}$
El cuadrado de un número	$x^{2}$
El cuadrado de la suma de dos números	$(x + y)^{2}$
La suma de los cuadrados de dos números	$x^{2} + y^{2}$
Tres enteros consecutivos	$x, x + 1, x + 2$
Un número par / un número impar	$2 n$ / $2 n + 1$
El 20 % de un número	$0, 2 x$

El orden de las palabras importa

"El cuadrado de la suma" es $(x + y)^{2}$ : primero se suma y después se eleva. "La suma de los cuadrados" es $x^{2} + y^{2}$ : primero se eleva cada uno y después se suma. Con $x = 1$ e $y = 2$ dan 9 y 5.

Ejemplo

Traducir un enunciado

Ana tiene 10 bolívares menos que el triple de lo que tiene Luis. Escribe lo que tiene Ana y lo que tienen entre los dos.

1
Llama $x$ a lo que tiene Luis.

1 de 3

Las tres expresiones básicas de la empresa

Si una empresa tiene un costo fijo de 500 (alquiler, por ejemplo), cada unidad le cuesta 20 producirla y la vende a 35 (datos de ejemplo), y $q$ es la cantidad producida y vendida:

Costo total: $C (q) = 500 + 20 q$ .
Ingreso: $I (q) = 35 q$ .
Utilidad: $U (q) = I (q) - C (q) = 35 q - (500 + 20 q) = 15 q - 500$ .

Compruébalo tú

Valor numérico

Calcular el valor numérico de una expresión es reemplazar cada letra por un número y hacer las cuentas. Es lo que harás cada vez que evalúes una función, así que vale la pena hacerlo sin errores.

Ejemplo

Sustituir con un número negativo

Calcula $P (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1$ para $x = - 2$ .

1
Reemplaza cada $x$ por $(- 2)$ , con paréntesis: $P (- 2) = 3 (- 2)^{2} - 2 (- 2) + 1$ .

1 de 4

x

3

Entra

3

→

P (x) = x^{2} - 3 x + 2

2

El resultado final es $P (3) = 2$ .

Cambia la entrada y mira el valor numérico de

P (x) = x^{2} - 3 x + 2

. Prueba con

x = 1

y con

x = 2

Siempre con paréntesis

Si $x = - 3$ , entonces $x^{2} = (- 3)^{2} = 9$ , pero $- x^{2} = - (- 3)^{2} = - 9$ . Sin paréntesis es fácil escribir $- 3^{2}$ y equivocarse de signo.

Evaluar un costo

Con $C (q) = 500 + 20 q$ , producir 100 unidades cuesta $C (100) = 500 + 20 \cdot 100 = 2500$ .

Compruébalo tú

Términos, polinomios y términos semejantes

Un término es un producto de un número por letras con exponentes, como $- 5 x^{2} y$ . El número es el coeficiente ( $- 5$ ) y las letras con sus exponentes son la parte literal ( $x^{2} y$ ). Una expresión con un término es un monomio, con dos un binomio, con tres un trinomio.

Definición

Polinomio en x

Es una suma de términos de la forma $a x^{n}$ donde los exponentes $n$ son naturales o cero:

P (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0}

El grado es el mayor exponente que aparece.
El coeficiente principal es el que acompaña a esa potencia.
El término independiente es $a_{0}$ , el que no tiene $x$ . Es lo que vale $P (0)$ .

$\frac{1}{x}$ y $x$ no son polinomios, porque equivalen a exponentes $- 1$ y $\frac{1}{2}$ .

Definición

Términos semejantes

Son los que tienen exactamente la misma parte literal: mismas letras con los mismos exponentes. Solo esos se pueden juntar, sumando sus coeficientes.

4 x^{2} - 7 x^{2} = - 3 x^{2}

2 x y + x y = 3 x y

Ejemplo

Reducir

Reduce $3 x^{2} - 5 x + 7 - x^{2} + 2 x - 4$ .

1
Términos en $x^{2}$ : $3 - 1 = 2$ , queda $2 x^{2}$ .

1 de 3

Qué no se puede juntar

$3 x + 2 x^{2}$ se queda así. Tienen distinta parte literal.
$x + x = 2 x$ , pero $x \cdot x = x^{2}$ .
$2 x + 3 y$ tampoco se junta.

Cuando hay signos de agrupación, se quitan de adentro hacia afuera. Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de todo lo que tiene adentro: $- (2 x - 3) = - 2 x + 3$ .

Ejemplo

Paréntesis anidados

Simplifica $4 x - [2 x - 3 (x - 1)]$ .

1
Adentro: $- 3 (x - 1) = - 3 x + 3$ , así que el corchete es $2 x - 3 x + 3 = - x + 3$ .

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Compruébalo tú

Suma, resta y multiplicación de polinomios

Para sumar polinomios se juntan los términos semejantes. Para restar se cambia el signo de todos los términos del que se resta y después se suma.

Ejemplo

Resta de polinomios

Si $P (x) = 3 x^{3} - 2 x + 5$ y $Q (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 1$ , calcula $P (x) - Q (x)$ .

1
Cambiamos todos los signos de $Q$ : $- Q (x) = - x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 1$ .

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Definición

Propiedad distributiva

a (b + c) = ab + a c

Para multiplicar un monomio por un polinomio, el monomio multiplica a cada término. Para multiplicar dos polinomios, cada término del primero multiplica a cada término del segundo, y al final se reducen los semejantes. En cada producto se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de la misma letra.

Ejemplo

Binomio por trinomio

Desarrolla $(2 x - 3) (x^{2} + x - 4)$ .

1
$2 x$ por cada término: $2 x^{3} + 2 x^{2} - 8 x$ .

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Control rápido

El grado del producto es la suma de los grados. En el ejemplo, $1 + 2 = 3$ . Si te sale otro grado, hay un error.

Utilidad con polinomios

Si $I (q) = 50 q - q^{2}$ y $C (q) = 200 + 10 q$ (datos de ejemplo), la utilidad es

U (q) = 50 q - q^{2} - (200 + 10 q) = - q^{2} + 40 q - 200

El paréntesis alrededor del costo es indispensable: el menos afecta al costo completo.

Compruébalo tú

Productos notables

Algunos productos aparecen tanto que conviene saber el resultado de memoria. Ahorran tiempo y, leídos al revés, son la base de la factorización.

Definición

Los seis productos notables

Cuadrado de una suma

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Cuadrado de una diferencia

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

Suma por diferencia

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Binomios con término común

(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + ab

Cubo de una suma

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

Cubo de una diferencia

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

Un cuadrado de lado

a + b

tiene área

(a + b)^{2}

. Partido en cuatro piezas suma

a^{2} + ab + ab + b^{2}

. Por eso aparece el

2 ab

Ejemplo

Usar las fórmulas

Desarrolla $(3 x - 2)^{2}$ , $(2 x + 5) (2 x - 5)$ y $(x - 1)^{3}$ .

1
$(3 x - 2)^{2} = (3 x)^{2} - 2 (3 x) (2) + 2^{2} = 9 x^{2} - 12 x + 4$ .

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El error más repetido del álgebra

$(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2}$ . Siempre falta el término $2 ab$ . Si dudas, prueba con números: $(1 + 2)^{2} = 9$ , pero $1^{2} + 2^{2} = 5$ .

Compruébalo tú

División de polinomios

Con números, $17 \div 5$ da cociente 3 y resto 2, porque $17 = 5 \cdot 3 + 2$ y el resto es menor que el divisor. Con polinomios pasa igual:

P (x) = D (x) \cdot Q (x) + R (x)

donde $Q$ es el cociente y el resto $R$ tiene grado menor que el divisor $D$ .

Dividir un polinomio entre un monomio es fácil: se divide cada término. $\frac{12 x ^{5} - 8 x ^{3}}{4 x ^{2}} = 3 x^{3} - 2 x$ .

Ejemplo

División larga

Divide $2 x^{3} + 3 x^{2} - 5 x + 6$ entre $x + 2$ .

1
$2 x^{3} \div x = 2 x^{2}$ . Multiplicamos: $2 x^{2} (x + 2) = 2 x^{3} + 4 x^{2}$ . Restamos: queda $- x^{2} - 5 x + 6$ .

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Definición

División sintética o regla de Ruffini

Sirve cuando el divisor es de la forma $x - a$ . Es la misma división larga, escrita solo con los coeficientes.

1. Escribe los coeficientes del dividendo ordenados, con $0$ en los grados que falten.

2. Pon $a$ en la esquina. Para $x + 2$ , que es $x - (- 2)$ , el número es $- 2$ .

3. Baja el primer coeficiente. Multiplícalo por $a$ , escríbelo bajo el siguiente y suma. Repite hasta el final.

4. El último número es el resto. Los anteriores son los coeficientes del cociente, que tiene un grado menos.

Ejemplo

La misma división con Ruffini

Divide $2 x^{3} + 3 x^{2} - 5 x + 6$ entre $x + 2$ con Ruffini.

1
Coeficientes $2, 3, - 5, 6$ y número de la esquina $- 2$ .

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Definición

Teorema del resto

El resto de dividir $P (x)$ entre $x - a$ es $P (a)$ .

En el ejemplo,

P (- 2) = 2 (- 8) + 3 (4) - 5 (- 2) + 6 = - 16 + 12 + 10 + 6 = 12

Si $P (a) = 0$ , la división es exacta y $x - a$ es un factor de $P (x)$ . Esa idea es la que se usa para factorizar.

Dos descuidos frecuentes en Ruffini

Olvidar los ceros de los términos que faltan. En $x^{3} - 2 x + 5$ los coeficientes son $1, 0, - 2, 5$ .
Usar el signo equivocado. Para $x - 3$ el número es $3$ , y para $x + 3$ es $- 3$ .

Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.