Módulo 0 · Tema 3 de 10

Potencias y raíces

Las leyes de los exponentes, exponentes negativos y fraccionarios, y cómo simplificar radicales.

Al terminar podrás

Calcular potencias de números con signo y de fracciones.
Aplicar las leyes de los exponentes, incluidos los exponentes cero, negativos y fraccionarios.
Pasar de raíces a exponentes fraccionarios y al revés.
Simplificar radicales y sumar radicales semejantes.
Leer y escribir números en notación científica.

7 secciones · 13 tipos de ejercicio

Qué es una potencia

Escribir $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ es largo. Para eso existe la potencia: $2^{5}$ . El número de abajo, la base, es lo que se multiplica. El de arriba, el exponente, dice cuántas veces aparece la base como factor.

Definición

Potencia de exponente natural

a^{n} = n veces a \cdot a \dots a

$3^{4} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$ y $1 0^{3} = 1000$ . Las potencias de 10 son un 1 seguido de tantos ceros como diga el exponente.

La potencia no es una multiplicación por el exponente

$2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ , no $2 \cdot 3 = 6$ .

Base	Exponente par	Exponente impar
Positiva	$2^{4} = 16$	$2^{3} = 8$
Negativa	$(- 2)^{4} = 16$	$(- 2)^{3} = - 8$

Una base negativa con exponente par da positivo, porque los negativos se cancelan de dos en dos. Con exponente impar sobra uno y el resultado es negativo.

El paréntesis cambia todo

$(- 3)^{2} = 9$ porque la base es $- 3$ . En $- 3^{2}$ la base es solo el 3: $- 3^{2} = - 9$ .

Ejemplo

Potencias de fracciones

Calcula $(\frac{2}{3})^{3}$ y $(- \frac{1}{2})^{4}$ .

1
El exponente afecta al numerador y al denominador: $(\frac{2}{3})^{3} = \frac{2 ^{3}}{3 ^{3}} = \frac{8}{27}$ .

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Compruébalo tú

Las leyes de los exponentes

Las leyes de los exponentes no hay que memorizarlas a ciegas. Todas salen de contar factores. Por ejemplo, $a^{3} \cdot a^{2} = (a \cdot a \cdot a) (a \cdot a) = a^{5}$ : hay $3 + 2$ factores.

Ley	Fórmula	Ejemplo
Producto de igual base	$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$	$x^{3} \cdot x^{4} = x^{7}$
Cociente de igual base	$\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$	$\frac{x ^{7}}{x ^{2}} = x^{5}$
Potencia de una potencia	$(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$	$(x^{2})^{3} = x^{6}$
Potencia de un producto	$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$	$(2 x)^{3} = 8 x^{3}$
Potencia de un cociente	$(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$	$(\frac{x}{3})^{2} = \frac{x ^{2}}{9}$

Ejemplo

Combinar varias leyes

Simplifica $\frac{( 2 x ^{3} y ) ^{2} \cdot x}{4 x ^{5} y ^{2}}$ .

1
Potencia de un producto: $(2 x^{3} y)^{2} = 2^{2} (x^{3})^{2} y^{2} = 4 x^{6} y^{2}$ .

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Lo que las leyes no dicen

$(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2}$ . Prueba con $a = 1$ , $b = 2$ : $9 \neq = 5$ .
$x^{2} \cdot x^{3} = x^{5}$ , no $x^{6}$ .
$x^{2} + x^{3}$ no se puede juntar en una sola potencia.
Las leyes de producto y cociente piden la misma base: $2^{3} \cdot 3^{2}$ no se simplifica así.

Compruébalo tú

Exponente cero y exponentes negativos

¿Qué puede significar $2^{0}$ o $2^{- 3}$ , si no se puede multiplicar el 2 "cero veces" o "menos tres veces"? Mira la tabla. Cada vez que el exponente baja 1, el resultado se divide entre 2. Si se sigue el patrón, aparecen solos los valores.

Potencia	Valor
$2^{3}$	$8$
$2^{2}$	$4$
$2^{1}$	$2$
$2^{0}$	$1$
$2^{- 1}$	$\frac{1}{2}$
$2^{- 2}$	$\frac{1}{4}$
$2^{- 3}$	$\frac{1}{8}$

Dividiendo entre 2 en cada paso:

2^{0} = 1

2^{- n} = \frac{1}{2 ^{n}}

Definición

Exponente cero y negativo

Para $a \neq = 0$ :

a^{0} = 1 a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

(\frac{a}{b})^{- n} = (\frac{b}{a})^{n}

La ley del cociente lo confirma: $\frac{a ^{3}}{a ^{3}} = 1$ y también $\frac{a ^{3}}{a ^{3}} = a^{3 - 3} = a^{0}$ .

Exponente negativo no es número negativo

$2^{- 3} = \frac{1}{8}$ , que es positivo. El signo menos del exponente invierte la base, no le cambia el signo.

Cambiar de piso

Un factor con exponente negativo puede pasar al otro piso de la fracción cambiando el signo del exponente: $\frac{x ^{- 2}}{y ^{- 3}} = \frac{y ^{3}}{x ^{2}}$ . Esto solo vale para factores, no para sumandos.

Ejemplo

Calcular con exponentes negativos

Calcula $(\frac{2}{3})^{- 2}$ y $3^{- 1} + 2^{- 2}$ .

1
Invertimos la fracción: $(\frac{2}{3})^{- 2} = (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}$ .

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Valor presente

Si un banco paga un interés $i$ por año, una cantidad $V F$ que recibirás dentro de $n$ años vale hoy

V P = V F \cdot (1 + i)^{- n}

Con datos de ejemplo, 1000 bolívares dentro de 2 años al 10 % anual valen hoy $1000 \cdot 1, 1^{- 2} = \frac{1000}{1 , 21} \approx 826, 45$ . El exponente negativo es el que "trae al presente".

Compruébalo tú

Raíces

La raíz deshace la potencia. $9 = 3$ porque $3^{2} = 9$ . $38 = 2$ porque $2^{3} = 8$ . El número pequeño de la raíz es el índice y el de adentro es el radicando. Si no se escribe índice, es 2.

Definición

Raíz n-ésima

n a = b significa b^{n} = a

Con índice par se pide además que $a \geq 0$ y $b \geq 0$ .

Índice par y radicando negativo: no hay raíz real. $- 4$ no existe en $R$ , porque ningún número al cuadrado da negativo.
Índice impar: siempre existe. $3 - 8 = - 2$ porque $(- 2)^{3} = - 8$ .
La raíz cuadrada es la positiva: $9 = 3$ , no $\pm 3$ . Por eso $x^{2} = ∣ x ∣$ .

$n$	$n^{2}$	$n^{3}$
$1$	$1$	$1$
$2$	$4$	$8$
$3$	$9$	$27$
$4$	$16$	$64$
$5$	$25$	$125$
$6$	$36$	$216$
$7$	$49$	$343$
$8$	$64$	$512$
$9$	$81$	$729$
$10$	$100$	$1000$

Cuadrados y cubos que conviene reconocer a simple vista.

La raíz no se reparte en una suma

$9 + 16 = 25 = 5$ , pero $9 + 16 = 7$ . En cambio sí se reparte en un producto: $4 \cdot 9 = 4 \cdot 9 = 6$ .

Compruébalo tú

Exponentes fraccionarios

¿Qué debería ser $9^{\frac{1}{2}}$ ? Si las leyes siguen valiendo, $(9^{\frac{1}{2}})^{2} = 9^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{1} = 9$ . Entonces $9^{\frac{1}{2}}$ es un número que al cuadrado da 9: es $9 = 3$ . Un exponente fraccionario es otra forma de escribir una raíz.

Definición

Exponente fraccionario

a^{\frac{1}{n}} = n a a^{\frac{m}{n}} = n a^{m} = (n a)^{m}

El denominador es el índice de la raíz y el numerador es la potencia.

Ejemplo

Calcular exponentes fraccionarios

Calcula $8^{\frac{2}{3}}$ , $2 7^{- \frac{1}{3}}$ y $1 6^{\frac{3}{4}}$ .

1
$8^{\frac{2}{3}} = (38)^{2} = 2^{2} = 4$ .

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Primero la raíz

En $a^{\frac{m}{n}}$ conviene sacar primero la raíz y después elevar. Los números quedan más pequeños: $(38)^{2} = 4$ es más cómodo que $364$ .

Como las leyes de los exponentes siguen valiendo, sirven para multiplicar raíces de distinto índice: $x \cdot 3 x = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{5}{6}} = 6 x^{5}$ .

f (x) = x^{0, 5}

exponente n

0, 5

Con

n = 0, 5

ves la raíz cuadrada. Si

0 < n < 1

la curva crece cada vez más despacio, si

n > 1

cada vez más rápido, y si

n < 0

baja. La recta punteada es

n = 1

Funciones de producción

En economía es común la función de Cobb-Douglas $Q = A K^{\frac{1}{2}} L^{\frac{1}{2}}$ , donde $K$ es el capital y $L$ el trabajo. Los exponentes fraccionarios dicen que duplicar solo el trabajo no duplica la producción: hay rendimientos decrecientes.

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Simplificar radicales

Definición

Propiedades de los radicales

Para $a, b \geq 0$ :

n a \cdot b = n a \cdot n b n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}

Simplificar un radical es sacar de la raíz todo lo que se pueda. Con raíz cuadrada, se busca el mayor cuadrado perfecto que divida al radicando. Con raíz cúbica, el mayor cubo.

Ejemplo

Sacar factores de una raíz

Simplifica $72$ y $354$ .

1
$72 = 36 \cdot 2$ y $36$ es un cuadrado. $72 = 36 \cdot 2 = 62$ .

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Los radicales semejantes tienen el mismo índice y el mismo radicando. Se suman como términos semejantes: $32 + 52 = 82$ . A veces hay que simplificar primero para descubrir que son semejantes: $50 + 18 = 52 + 32 = 82$ . En cambio $2 + 3$ no se puede simplificar.

Ejemplo

Radicales con letras

Simplifica $12 x^{5}$ con $x \geq 0$ .

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Número: $12 = 4 \cdot 3$ , sale un 2 y queda un 3.

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Racionalizar, en una línea

Si queda una raíz en el denominador, se multiplica arriba y abajo por esa raíz: $\frac{1}{2} = \frac{2}{2 2} = \frac{2}{2}$ . Lo verás completo en Fracciones algebraicas.

Error clásico

$x^{2} + 9 \neq = x + 3$ . La raíz no se reparte en sumas. Compruébalo con $x = 4$ : $25 = 5$ , pero $4 + 3 = 7$ .

Compruébalo tú

Notación científica

Los números muy grandes o muy pequeños se leen mejor con potencias de 10. En lugar de $4750000$ se escribe $4, 75 \times 1 0^{6}$ , y en lugar de $0, 00032$ se escribe $3, 2 \times 1 0^{- 4}$ .

Definición

Notación científica

Un número está en notación científica si se escribe como

a \times 1 0^{n} con 1 \leq a < 10 y n entero

El exponente cuenta cuántos lugares se movió la coma. Si el número es grande, $n$ es positivo. Si es menor que 1, $n$ es negativo.

Ejemplo

Multiplicar en notación científica

Calcula $(3 \times 1 0^{5}) (4 \times 1 0^{- 2})$ .

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Multiplica los números: $3 \cdot 4 = 12$ .

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Cifras macroeconómicas

Un presupuesto de $25000000000$ dólares (cifra de ejemplo) se escribe $2, 5 \times 1 0^{10}$ . Así se comparan magnitudes de un vistazo: $1 0^{10}$ es diez mil veces $1 0^{6}$ .

Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.