Módulo 0 · Tema 2 de 10

Fracciones y decimales

Simplificar, sumar, multiplicar y dividir fracciones, y pasar de fracción a decimal y de vuelta.

Al terminar podrás

Entender qué representa una fracción y reconocer fracciones equivalentes.
Simplificar fracciones y calcular el mínimo común múltiplo.
Sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones, incluso en operaciones combinadas.
Pasar de fracción a decimal y de decimal, finito o periódico, a fracción.
Calcular porcentajes, aumentos, descuentos y cambios porcentuales sucesivos.

7 secciones · 13 tipos de ejercicio

Qué es una fracción

Imagina una barra de chocolate dividida en 4 pedazos iguales. Si te comes 3, te comiste $\frac{3}{4}$ de la barra. El número de abajo, el denominador, dice en cuántas partes iguales se cortó la unidad. El de arriba, el numerador, dice cuántas de esas partes tomas.

3/4

El tramo de

0

1

partido en 4 trozos iguales. Tres trozos llegan hasta

\frac{3}{4}

Una fracción también es una división: $\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0, 75$ . Por eso el denominador nunca puede ser cero, porque no se divide entre cero.

El signo puede ir arriba, abajo o delante, y significa lo mismo: $- \frac{3}{4} = \frac{- 3}{4} = \frac{3}{- 4}$ .

Definición

Propias, impropias y números mixtos

Una fracción es propia si el numerador es menor que el denominador, como $\frac{3}{4}$ , y vale menos que 1. Es impropia si el numerador es mayor o igual, como $\frac{7}{4}$ , y vale 1 o más.

Una impropia se puede escribir como número mixto: $\frac{7}{4} = 1 + \frac{3}{4}$ , que a veces se escribe $1 \frac{3}{4}$ . En matemática conviene más la forma impropia, así que úsala siempre que puedas.

Ejemplo

Fracción de una cantidad

¿Cuánto es $\frac{3}{5}$ de $40$ ?

1
Partimos 40 en 5 partes iguales: $40 \div 5 = 8$ .

1 de 3

Repartir un presupuesto

Si una empresa gasta $\frac{2}{5}$ de su presupuesto en salarios y $\frac{1}{4}$ en materia prima, las fracciones dicen qué parte del total se lleva cada rubro sin importar si el presupuesto es de mil o de un millón.

Compruébalo tú

Fracciones equivalentes y simplificación

Media pizza es lo mismo que dos cuartos o que cuatro octavos. Cambia el número de cortes, pero la cantidad de pizza es la misma: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}$ . Son fracciones equivalentes.

1/2

2/4 = 4/8

Las tres fracciones marcan el mismo tramo de la recta.

Definición

Regla de equivalencia

Si multiplicas o divides el numerador y el denominador por el mismo número distinto de cero, la fracción no cambia de valor.

\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}

Simplificar es dividir arriba y abajo por un divisor común. Cuando ya no queda ningún divisor común salvo el 1, la fracción es irreducible.

Ejemplo

Simplificar paso a paso

Simplifica $\frac{84}{126}$ .

1
Los dos son pares. Dividimos entre 2: $\frac{42}{63}$ .

1 de 4

Reglas rápidas de divisibilidad

Entre 2: el número termina en cifra par.
Entre 3: la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Entre 5: termina en 0 o en 5.
Entre 10: termina en 0.

Solo se tachan factores, nunca sumandos

$\frac{3 \cdot 5}{3} = 5$ está bien, porque el 3 multiplica. Pero $\frac{3 + 5}{3}$ no es 5: vale $\frac{8}{3}$ . Un número que suma no se puede tachar. Este error aparece muchísimo con letras más adelante.

Compruébalo tú

Múltiplos, divisores y mínimo común múltiplo

Los múltiplos de 6 son los que salen de la tabla del 6: $6, 12, 18, 24, 30, 36, \dots$ Los de 4 son $4, 8, 12, 16, 20, 24, \dots$ Los que aparecen en las dos listas, como $12, 24, 36$ , son múltiplos comunes. El menor de ellos, $12$ , es el mínimo común múltiplo: $mcm (4, 6) = 12$ .

Los divisores de un número son los que lo dividen exacto. Los de 12 son $1, 2, 3, 4, 6, 12$ . Un número es primo si solo tiene dos divisores, el 1 y él mismo: $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$

Definición

mcm y mcd con factores primos

Descompón cada número en factores primos.

mcm: todos los primos que aparecen, comunes y no comunes, cada uno con su mayor exponente.
mcd (máximo común divisor): solo los primos comunes, con su menor exponente.

Ejemplo

mcm y mcd de 12 y 18

Calcula $mcm (12, 18)$ y $mcd (12, 18)$ .

1
$12 = 2^{2} \cdot 3$ y $18 = 2 \cdot 3^{2}$ .

1 de 3

Dos atajos

Si un número es múltiplo del otro, el mcm es el mayor: $mcm (5, 15) = 15$ . Si no comparten ningún primo, el mcm es el producto: $mcm (4, 9) = 36$ .

Compruébalo tú

Sumar y restar fracciones

Si los pedazos son del mismo tamaño, se cuentan y listo: dos séptimos más tres séptimos son cinco séptimos, $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7}$ . El denominador no cambia, porque el tamaño de los pedazos no cambió.

Si los pedazos son de distinto tamaño, como medios y tercios, primero hay que cortarlos a un tamaño común. Eso es buscar fracciones equivalentes con el mismo denominador, y el más cómodo es el mcm.

Definición

Suma con distinto denominador

1. Calcula el mcm de los denominadores.

2. Convierte cada fracción a ese denominador multiplicando arriba y abajo por lo que haga falta.

3. Suma o resta los numeradores y deja el denominador común.

4. Simplifica si se puede.

Ejemplo

Tres fracciones

Calcula $\frac{5}{6} - \frac{3}{4} + \frac{1}{3}$ .

1
$mcm (6, 4, 3) = 12$ .

1 de 3

No se suman los denominadores

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ no es $\frac{2}{5}$ . Basta mirar que $\frac{2}{5}$ es menor que $\frac{1}{2}$ , y sumarle algo positivo a $\frac{1}{2}$ no puede dar menos. Lo correcto es $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ .

Un entero es una fracción con denominador 1: $2 + \frac{3}{4} = \frac{8}{4} + \frac{3}{4} = \frac{11}{4}$ .

Con dos fracciones también sirve la fórmula general, aunque a veces deja números más grandes que hay que simplificar:

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}

Compruébalo tú

Multiplicar y dividir fracciones

Multiplicar es más fácil que sumar: numerador por numerador y denominador por denominador.

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

Tiene sentido. La mitad de tres cuartos de pizza es $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$ : si partes cada cuarto por la mitad, te quedan octavos, y tienes tres.

Ejemplo

Simplificar antes de multiplicar

Calcula $\frac{6}{35} \cdot \frac{14}{9}$ .

1
Antes de multiplicar busca factores comunes en cruz. El 6 y el 9 comparten un 3: quedan 2 y 3.

1 de 3

Definición

Dividir es multiplicar por el inverso

El inverso de $\frac{c}{d}$ es $\frac{d}{c}$ . Para dividir, se multiplica por el inverso de la segunda fracción:

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

¿Por qué? Pregúntate cuántas mitades caben en 3. Caben 6, y en efecto $3 \div \frac{1}{2} = 3 \cdot 2 = 6$ .

Ejemplo

Fracción compuesta

Simplifica $\frac{1 + \frac{1}{2}}{2 - \frac{1}{3}}$ .

1
Numerador: $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ .

1 de 3

Se invierte solo la que divide

En $\frac{3}{4} \div \frac{9}{8}$ la que se invierte es $\frac{9}{8}$ , la segunda. La primera se queda igual.

Compruébalo tú

De fracción a decimal y de vuelta

Para pasar de fracción a decimal se divide. $\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0, 375$ , un decimal finito. En cambio $\frac{2}{3} = 0, 666 \dots$ nunca termina: es un decimal periódico y se escribe $0, 6$ , con una raya sobre la parte que se repite.

Una fracción irreducible da decimal finito justo cuando su denominador solo tiene los factores primos 2 y 5. Por eso $\frac{3}{8}$ es finito y $\frac{2}{3}$ no.

Definición

Decimal finito a fracción

Escribe el número sin coma sobre 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga. Después simplifica.

0, 45 = \frac{45}{100} = \frac{9}{20} 2, 5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}

Definición

Decimal periódico a fracción

Periódico puro (todo lo de después de la coma se repite): el periodo arriba y un 9 por cada cifra del periodo abajo.

0, 36 = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}

Periódico mixto (hay cifras que no se repiten antes del periodo): arriba, las cifras hasta el primer periodo menos las que no se repiten. Abajo, un 9 por cada cifra del periodo seguido de un 0 por cada cifra que no se repite.

0, 16 = \frac{16 - 1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}

Ejemplo

De dónde sale la regla del 9

Demuestra que $0, 3 = \frac{1}{3}$ .

1
Llama $x = 0, 333 \dots$

1 de 4

Una curiosidad

Con la misma regla, $0, 9 = \frac{9}{9} = 1$ . No es "casi 1": es exactamente 1.

Compruébalo tú

Porcentajes

Un porcentaje es una fracción con denominador 100. "El 25 %" quiere decir "25 de cada 100": $25% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0, 25$ .

Porcentaje	Fracción	Decimal
$50%$	$\frac{1}{2}$	$0, 5$
$25%$	$\frac{1}{4}$	$0, 25$
$75%$	$\frac{3}{4}$	$0, 75$
$20%$	$\frac{1}{5}$	$0, 2$
$10%$	$\frac{1}{10}$	$0, 1$
$1%$	$\frac{1}{100}$	$0, 01$

Definición

Porcentaje de una cantidad

p % de N = \frac{p}{100} \cdot N

El 15 % de 240 es $0, 15 \cdot 240 = 36$ .

Definición

Aumentos y descuentos

Subir un $p %$ es multiplicar por $1 + \frac{p}{100}$ . Bajar un $p %$ es multiplicar por $1 - \frac{p}{100}$ .

Un aumento del 16 % multiplica por $1, 16$ y un descuento del 20 % multiplica por $0, 8$ .

Ejemplo

Descuento y luego impuesto

Un artículo cuesta 250. Tiene un descuento del 20 % y sobre el precio rebajado se cobra un impuesto del 16 %. ¿Cuánto se paga?

1
Descuento: $250 \cdot 0, 8 = 200$ .

1 de 3

Definición

Cambio porcentual

Si una cantidad pasa de un valor inicial $V_{i}$ a un valor final $V_{f}$ , el cambio porcentual es

\frac{V _{f} - V _{i}}{V _{i}} \cdot 100%

De 80 a 92 el cambio es $\frac{12}{80} = 0, 15$ , es decir, un 15 %.

Los porcentajes sucesivos no se suman

Subir 20 % y luego bajar 20 % no te deja igual. Multiplicas por $1, 2$ y luego por $0, 8$ , y $1, 2 \cdot 0, 8 = 0, 96$ . Terminas 4 % por debajo, porque el 20 % de bajada se calculó sobre un precio más alto.

Inflación acumulada

Con una inflación de 10 % mensual durante dos meses (dato de ejemplo), los precios no suben 20 %. Se multiplican por $1, 1 \cdot 1, 1 = 1, 21$ , así que suben 21 %. Esa diferencia crece rápido cuando son muchos meses, y es la misma idea del interés compuesto que verás con el número $e$ .

Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.