Módulo 0 · Tema 1 de 10

Los números y sus operaciones

Naturales, enteros, racionales y reales, la ley de los signos y el orden en que se resuelven las operaciones.

Al terminar podrás

Reconocer naturales, enteros, racionales, irracionales y reales, y ubicarlos en la recta.
Sumar, restar, multiplicar y dividir números con signo sin equivocarte en la ley de los signos.
Resolver operaciones combinadas respetando la jerarquía y los signos de agrupación.
Calcular valores absolutos y distancias entre puntos de la recta real.

6 secciones · 12 tipos de ejercicio

Los números que vas a usar

Los primeros números que aprendiste sirven para contar: $1, 2, 3, 4, \dots$ Se llaman naturales y se agrupan en el conjunto $N$ .

Con ellos no se puede responder cuánto es $3 - 5$ . Si tienes 3 mil bolívares y gastas 5 mil, quedas debiendo 2 mil. Esa deuda se escribe $- 2$ , un número negativo. Al juntar los naturales, el cero y los negativos se obtienen los enteros, $Z$ .

Tampoco alcanzan los enteros para repartir una torta entre 4 personas: a cada una le toca $\frac{1}{4}$ . Los números que se escriben como fracción de dos enteros se llaman racionales, $Q$ . Sus decimales o se acaban ( $0, 25$ ) o se repiten en bloque ( $0, 333 \dots$ ).

Hay números que no se pueden escribir como fracción. La diagonal de un cuadrado de lado 1 mide $2 = 1, 41421356 \dots$ y sus decimales nunca se acaban ni se repiten. Lo mismo pasa con $π = 3, 14159 \dots$ Estos son los irracionales, $I$ . Racionales e irracionales juntos forman los reales, $R$ , que son todos los números con los que vas a trabajar en el curso.

Conjunto	Qué contiene	Ejemplos
Naturales $N$	Los números de contar	$1, 2, 3, 40$
Enteros $Z$	Naturales, el cero y los negativos	$- 7, 0, 12$
Racionales $Q$	Fracciones de enteros, decimales finitos o periódicos	$\frac{3}{4}, - 2, 5, 0, 3$
Irracionales $I$	Decimales infinitos sin bloque que se repita	$2, 5, π$
Reales $R$	Racionales e irracionales	Todos los anteriores

Se cumple

N \subset Z \subset Q \subset R

y también

I \subset R

. Un número no puede ser racional e irracional a la vez.

El cero

En este curso los naturales empiezan en 1, así que $0 \in / N$ pero $0 \in Z$ . Algunos libros incluyen el cero en los naturales. Sigue la convención de tu profesor.

Ejemplo

Clasificar números

¿En qué conjunto más pequeño está cada número? $16$ , $- \frac{8}{4}$ , $0, 75$ y $7$ .

1
$16 = 4$ porque $4 \cdot 4 = 16$ . Es natural, aunque esté escrito con una raíz.

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Los negativos en economía

Una utilidad negativa es una pérdida. Una variación de precio de $- 3%$ es una baja. Un saldo de $- 500$ es una deuda. Cada vez que veas un signo menos en un problema económico, pregúntate qué significa en la vida real.

Compruébalo tú

La recta real y el orden

Dibuja una recta, marca un punto y llámalo $0$ . A la derecha, con pasos iguales, van $1, 2, 3, \dots$ y a la izquierda $- 1, - 2, - 3, \dots$ Entre ellos caben las fracciones y los irracionales. A cada número real le corresponde un punto, y a cada punto un número. Por eso se habla de la recta real.

Cada número ocupa un lugar.

2 \approx 1, 41

π \approx 3, 14

también tienen su punto.

Definición

Orden

$a < b$ (se lee " $a$ es menor que $b$ ") significa que $a$ está a la izquierda de $b$ en la recta. $a > b$ significa que $a$ está a la derecha.

$\leq$ quiere decir "menor o igual" y $\geq$ "mayor o igual".

El opuesto de un número $a$ es $- a$ : está a la misma distancia del cero pero del otro lado. El opuesto de $4$ es $- 4$ y el opuesto de $- 4$ es $4$ . Por eso $- (- 4) = 4$ .

Entre negativos, el más grande en tamaño es el menor

$- 10 < - 1$ . Piénsalo con deudas: deber 10 es peor que deber 1. En la recta, $- 10$ está mucho más a la izquierda.

Ejemplo

Ordenar números con signo

Ordena de menor a mayor $- \frac{3}{2}$ , $0, 5$ , $- 2$ y $- 0, 75$ .

1
Pasa todo a decimal: $- 1, 5$ , $0, 5$ , $- 2$ y $- 0, 75$ .

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Compruébalo tú

Sumar y restar con signos

La forma más fácil de pensar los signos es con dinero. Un número positivo es plata que tienes y un negativo es plata que debes.

Si tienes 5 y ganas 3, tienes 8: $5 + 3 = 8$ .
Si debes 5 y te endeudas 3 más, debes 8: $- 5 - 3 = - 8$ .
Si tienes 5 y debes 3, al pagar te quedan 2: $5 - 3 = 2$ .
Si tienes 3 y debes 5, al pagar sigues debiendo 2: $3 - 5 = - 2$ .

Definición

Reglas para sumar

Mismo signo: se suman los tamaños y se deja el signo. $- 4 + (- 6) = - 10$ .

Signos distintos: se resta el tamaño menor del mayor y se deja el signo del que tiene mayor tamaño. $- 9 + 4 = - 5$ porque $9 - 4 = 5$ y el $9$ era negativo.

Definición

Restar es sumar el opuesto

a - b = a + (- b)

a - (- b) = a + b

Quitar una deuda es lo mismo que ganar dinero. Por eso $5 - (- 3) = 5 + 3 = 8$ .

Ejemplo

Una suma larga con signos

Calcula $- 8 + 3 - (- 6) - 4$ .

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Cambia la resta del negativo por una suma: $- 8 + 3 + 6 - 4$ .

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Dos negativos seguidos no se cancelan en una suma

$- 3 - 5 = - 8$ , no $- 2$ ni $8$ . Son dos deudas que se acumulan. La regla "menos por menos da más" es de la multiplicación, no de la suma.

Compruébalo tú

Multiplicar y dividir: la ley de los signos

Multiplicar es sumar varias veces lo mismo. $3 \cdot (- 4)$ es sumar tres deudas de 4: $(- 4) + (- 4) + (- 4) = - 12$ . Para dividir se usa la misma regla de signos que para multiplicar.

Signos	Resultado	Ejemplo
$(+) (+)$	$+$	$3 \cdot 4 = 12$
$(+) (-)$	$-$	$3 \cdot (- 4) = - 12$
$(-) (+)$	$-$	$(- 12) \div 4 = - 3$
$(-) (-)$	$+$	$(- 3) (- 4) = 12$

Signos iguales dan positivo, signos distintos dan negativo.

¿Por qué menos por menos da más?

Operación	Resultado
$(- 3) \cdot 2$	$- 6$
$(- 3) \cdot 1$	$- 3$
$(- 3) \cdot 0$	$0$
$(- 3) \cdot (- 1)$	$3$
$(- 3) \cdot (- 2)$	$6$

Cada vez que el segundo factor baja 1, el resultado sube 3. El patrón obliga a que

(- 3) (- 1) = 3

También se ve con dinero. Si te quitan ( $-$ ) 2 deudas ( $-$ ) de 3 bolívares cada una, quedas 6 bolívares más rico: $(- 2) (- 3) = + 6$ .

Con muchos factores, cuenta los negativos

Si la cantidad de factores negativos es par, el resultado es positivo. Si es impar, es negativo. $(- 1) (- 2) (- 3) = - 6$ porque hay tres negativos.

El exponente solo afecta a lo que toca

$(- 3)^{2} = (- 3) (- 3) = 9$ , pero $- 3^{2} = - (3 \cdot 3) = - 9$ . En $- 3^{2}$ el cuadrado se aplica al 3 y el menos se queda afuera. Una potencia par de un negativo es positiva, y una impar es negativa: $(- 2)^{3} = - 8$ .

No se divide entre cero

$0 \div 5 = 0$ porque $0 \cdot 5 = 0$ . Pero $5 \div 0$ no existe: haría falta un número que multiplicado por 0 diera 5, y ese número no existe.

Ejemplo

Varios factores

Calcula $(- 2) (- 3) (- 5) \div (- 6)$ .

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Hay cuatro signos negativos, una cantidad par, así que el resultado es positivo.

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Compruébalo tú

El orden de las operaciones

¿Cuánto es $2 + 3 \cdot 4$ ? Si sumas primero da 20 y si multiplicas primero da 14. Para que todo el mundo obtenga lo mismo hay un orden acordado, y según ese orden la respuesta es 14.

Definición

Jerarquía de las operaciones

1. Signos de agrupación $()$ , $[]$ , ${}$ , del más interno al más externo.

2. Potencias y raíces.

3. Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.

4. Sumas y restas, de izquierda a derecha.

Multiplicar y dividir tienen el mismo rango

$12 \div 4 \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9$ , no $12 \div 12 = 1$ . Cuando están en el mismo nivel se hace primero la que aparece primero, leyendo de izquierda a derecha. Con la suma y la resta pasa igual: $10 - 4 + 2 = 8$ .

La raya de fracción agrupa

En $\frac{8 + 4}{2 + 1}$ el numerador y el denominador se calculan completos antes de dividir: $\frac{12}{3} = 4$ . Es como si cada uno tuviera su propio paréntesis.

Ejemplo

Paso a paso

Calcula $18 - 3 \cdot (5 - 7)^{2} + 10 \div (- 2)$ .

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Paréntesis: $5 - 7 = - 2$ .

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Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de todo lo que hay adentro: $- (3 - 8 + 2) = - 3 + 8 - 2$ . Si hay varios signos de agrupación, uno dentro de otro, se resuelven de adentro hacia afuera.

Ejemplo

Agrupaciones anidadas

Calcula $5 - {2 - [3 - (4 - 6)]}$ .

1
Paréntesis: $4 - 6 = - 2$ .

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Compruébalo tú

Valor absoluto y distancia

El valor absoluto de un número es su distancia al cero. Se escribe entre barras. Como una distancia nunca es negativa, el valor absoluto tampoco: $∣ 5 ∣ = 5$ , $∣ - 5 ∣ = 5$ y $∣ 0 ∣ = 0$ . En pocas palabras, el valor absoluto le quita el signo a un número.

Definición

Valor absoluto

∣ a ∣ = {a - a si a \geq 0 si a < 0

La segunda línea asusta un poco, pero tiene sentido: si $a$ es negativo, $- a$ es positivo. Por ejemplo $∣ - 4 ∣ = - (- 4) = 4$ .

La distancia entre

- 3

4

∣ - 3 - 4 ∣ = ∣ - 7 ∣ = 7

Definición

Distancia entre dos números

La distancia entre $a$ y $b$ en la recta es $∣ a - b ∣$ . El orden no importa: $∣ a - b ∣ = ∣ b - a ∣$ .

Dos errores frecuentes

El signo de afuera no lo toca el valor absoluto: $- ∣ - 6 ∣ = - 6$ .

El valor absoluto no se reparte en sumas: $∣ - 3 + 5 ∣ = ∣ 2 ∣ = 2$ , pero $∣ - 3 ∣ + ∣ 5 ∣ = 8$ .

Ejemplo

Calcular con barras

Calcula $∣ 2 - 9 ∣ - ∣ - 4 ∣ + 3 ∣ - 1 ∣$ .

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Las barras funcionan como paréntesis: $∣ 2 - 9 ∣ = ∣ - 7 ∣ = 7$ .

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El tamaño de un cambio

Si un precio sube 8 bolívares y otro baja 8, los cambios son $+ 8$ y $- 8$ . Tienen el mismo tamaño, $∣ + 8 ∣ = ∣ - 8 ∣ = 8$ , aunque van en direcciones opuestas. El valor absoluto aparece cuando importa cuánto cambió algo y no hacia dónde, como en la elasticidad que verás al final del curso.

Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.