Módulo 2 · Tema 5 de 6

Asíntotas

Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, y cómo bosquejar una gráfica a partir de sus límites.

Al terminar podrás

Hallar asíntotas verticales con límites infinitos y descartar los huecos.
Hallar asíntotas horizontales con límites en ±∞, también con raíces y exponenciales.
Calcular la asíntota oblicua y = mx + b con límites o dividiendo polinomios.
Leer asíntotas en una gráfica y bosquejar una función a partir de sus límites, como en el segundo parcial.

6 secciones · 14 tipos de ejercicio

Rectas a las que se pega la curva

Hay curvas que, lejos del origen o cerca de ciertos puntos, se parecen cada vez más a una recta sin llegar a confundirse con ella. Esa recta se llama asíntota. Saber dónde están las asíntotas es la mitad del trabajo de dibujar una función: marcas las rectas punteadas primero y la curva se acomoda alrededor.

Mira la gráfica de $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ . Cerca de $x = 1$ la curva se dispara hacia arriba o hacia abajo. Lejos, a la derecha o a la izquierda, se aplana y se acerca a la altura $y = 2$ .

La recta vertical

x = 1

y la horizontal

y = 2

son asíntotas de

f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}

Hay tres tipos de asíntota y cada uno sale de un límite distinto:

Asíntota	Cuándo existe
Vertical $x = a$	algún lateral en $a$ da $\pm \infty$
Horizontal $y = L$	$f (x) \to L$ cuando $x \to + \infty$ o $x \to - \infty$
Oblicua $y = m x + b$ , con $m \neq = 0$	$f (x) - (m x + b) \to 0$ cuando $x \to \pm \infty$

Definición

Asíntota no vertical

La recta $y = m x + b$ es asíntota de $f$ cuando $x \to + \infty$ si

x \to + \infty lim [f (x) - (m x + b)] = 0

es decir, si la distancia vertical entre la curva y la recta se hace tan pequeña como quieras. Lo mismo con $x \to - \infty$ . Si $m = 0$ la asíntota es horizontal.

La curva sí puede cortar a su asíntota

Una asíntota horizontal u oblicua describe lo que pasa lejos. Cerca del origen la curva puede cruzarla, incluso varias veces. Lo que no puede pasar es que la curva corte una asíntota vertical, porque en ese $x$ la función no tiene un valor finito.

Compruébalo tú

Asíntotas verticales

Una asíntota vertical aparece donde la función se dispara. En una fracción eso pasa cuando el denominador tiende a cero y el numerador no. Los candidatos son los ceros del denominador, y en funciones con logaritmo, los puntos donde el argumento tiende a cero.

Usa el deslizador para acercarte a $x = 2$ por los dos lados en $f (x) = \frac{1}{x - 2}$ .

cerca

d = 1

Por la izquierda

f (1) = - 1

Por la derecha

f (3) = 1

$x$	$f (x)$	$x$	$f (x)$
$1$	$- 1$	$3$	$1$
$1, 9$	$- 10$	$2, 1$	$10$
$1, 99$	$- 100$	$2, 01$	$100$
$1, 999$	$- 1000$	$2, 001$	$1000$

Definición

Asíntota vertical

La recta $x = a$ es asíntota vertical de $f$ si al menos uno de los límites laterales es infinito:

x \to a^{-} lim f (x) = \pm \infty o x \to a^{+} lim f (x) = \pm \infty

Ejemplo

No todo cero del denominador es asíntota

Halla las asíntotas verticales de $f (x) = \frac{x + 2}{x ^{2} - x - 6}$ .

1
Factoriza el denominador: $x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$ . Los candidatos son $x = 3$ y $x = - 2$ .

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El error más común

Igualar el denominador a cero y declarar asíntota sin mirar el numerador. Si los dos se anulan en el mismo punto, simplifica primero. Si después de simplificar el límite es finito, es un hueco.

Ejemplo

Con logaritmo

Halla las asíntotas verticales de $g (x) = ln (x - 1)$ .

1
El dominio es $x > 1$ . Cuando $x \to 1^{+}$ , el argumento $x - 1 \to 0^{+}$ .

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Compruébalo tú

Asíntotas horizontales

Para la horizontal se mira qué hace la función cuando $x$ se va muy lejos. Si se estabiliza en un número $L$ , la recta $y = L$ es asíntota horizontal. Hay que revisar los dos lados por separado, porque el resultado puede cambiar.

En las funciones racionales basta comparar los grados del numerador y del denominador:

Grado del numerador	Asíntota no vertical
menor, como en $\frac{3 x + 1}{x ^{2} + 4}$	horizontal $y = 0$
igual, como en $\frac{6 x ^{2} - x}{2 x ^{2} + 5}$	horizontal $y = \frac{6}{2} = 3$
uno más, como en $\frac{x ^{2} + 2 x}{x - 2}$	oblicua
dos o más, como en $\frac{x ^{3}}{x - 1}$	ninguna

Con grados iguales la asíntota es el cociente de los coeficientes principales.

Ejemplo

Exponencial

Halla las asíntotas horizontales de $f (x) = e^{- x} + 2$ .

1
Por la derecha, $e^{- x} \to 0$ , así que $lim_{x \to + \infty} f (x) = 2$ . Asíntota $y = 2$ .

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e^{- x} + 2

se pega a

y = 2

por la derecha y se dispara por la izquierda.

Ejemplo

Con raíz: una asíntota distinta a cada lado

Halla las asíntotas horizontales de $f (x) = \frac{3 x}{x ^{2} + 1}$ .

1
Sacamos $x^{2}$ de la raíz:
$x^{2} + 1 = x^{2} 1 + \frac{1}{x ^{2}} = ∣ x ∣ 1 + \frac{1}{x ^{2}}$

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$x^{2}$ no es $x$

$x^{2} = ∣ x ∣$ . Para $x$ negativo eso es $- x$ . Olvidarlo hace que la asíntota por la izquierda salga con el signo equivocado, y es un error que se paga caro en el parcial.

Costo medio a largo plazo

Si fabricar $x$ unidades cuesta $C (x) = 200 + 5 x$ , el costo medio por unidad es

C ˉ (x) = \frac{200 + 5 x}{x} = 5 + \frac{200}{x}

Su asíntota horizontal es $y = 5$ : con producciones muy grandes el costo fijo se reparte entre tantas unidades que cada una termina costando casi lo mismo que su costo variable.

Compruébalo tú

Asíntotas oblicuas

Cuando $f$ crece sin control pero lo hace como una recta inclinada, la asíntota es oblicua: $y = m x + b$ . Si $f (x)$ se parece a $m x + b$ para $x$ grande, al dividir entre $x$ queda casi $m$ , y al restar $m x$ queda casi $b$ . De ahí salen las dos fórmulas.

Definición

Cálculo de la asíntota oblicua

m = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x}

b = x \to \pm \infty lim [f (x) - m x]

Si los dos límites existen, son finitos y $m \neq = 0$ , la recta $y = m x + b$ es asíntota oblicua por ese lado. Se calcula por separado hacia $+ \infty$ y hacia $- \infty$ .

Ejemplo

Con las fórmulas

Determina las asíntotas de $f (x) = \frac{x ^{2} + 2 x}{x - 2}$ .

1
Vertical: el denominador se anula en $x = 2$ y el numerador vale $8$ . Asíntota $x = 2$ .

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La curva se pega a la recta

y = x + 4

por los dos lados.

Ejemplo

Por división de polinomios

Halla la oblicua de $f (x) = \frac{x ^{2} + 2 x}{x - 2}$ dividiendo.

1
Divide $x^{2} + 2 x$ entre $x - 2$ (por Ruffini con $2$ ): cociente $x + 4$ y resto $8$ .

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Ejemplo

Con raíz, tipo parcial

Calcula las asíntotas de $f (x) = \frac{x ^{2}}{x ^{2} - 9}$ .

1
Dominio: $x^{2} - 9 > 0$ , o sea $x < - 3$ o $x > 3$ . Cuando $x \to 3^{+}$ o $x \to - 3^{-}$ el denominador tiende a $0^{+}$ y el numerador a $9$ : asíntotas verticales $x = 3$ y $x = - 3$ .

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La horizontal es una oblicua con $m = 0$

Si al calcular $m$ te da $0$ , la recta $y = b$ es horizontal. Por eso una función no puede tener a la vez asíntota horizontal y oblicua hacia el mismo lado. Hacia lados distintos sí puede.

Compruébalo tú

Leer asíntotas en una gráfica

En el parcial suele venir una gráfica y te piden las ecuaciones de las asíntotas y completar límites. Lee la gráfica de izquierda a derecha y pregúntate en cada zona: ¿se dispara?, ¿se aplana?, ¿se pega a una recta inclinada?

Una función con dos asíntotas verticales, una horizontal por la izquierda y una oblicua por la derecha.

Zona	Lo que ves	Asíntota
Extremo izquierdo	se aplana en $- 1$ , o sea $lim_{x \to - \infty} f (x) = - 1$	$y = - 1$
Cerca de $- 3$	$f \to - \infty$ por la izquierda y $f \to + \infty$ por la derecha	$x = - 3$
Cerca de $2$	$f \to + \infty$ por la izquierda y $f \to - \infty$ por la derecha	$x = 2$
Extremo derecho	se pega a la recta que pasa por $(2, 0)$ y $(4, 2)$	$y = x - 2$

Para la oblicua, saca la recta con dos puntos

Si la recta punteada pasa por dos puntos de la cuadrícula, su pendiente es $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ y $b$ es el corte con el eje $y$ . Aquí $m = \frac{2 - 0}{4 - 2} = 1$ y $b = - 2$ .

Compruébalo tú

Bosquejar una gráfica a partir de condiciones

Es una de las preguntas que más se repite en el segundo parcial: te dan una lista de valores y límites y piden una gráfica que los cumpla. No hace falta una fórmula. El orden de trabajo que funciona es este:

Dibuja punteadas todas las asíntotas. Las verticales salen de los límites infinitos en un número, la horizontal de un límite finito en $\pm \infty$ y la oblicua de los datos $m$ y $b$ .
Marca los puntos que te dan, como $f (- 2) = 0$ .
Junto a cada asíntota vertical, haz un trazo corto en la dirección que dice cada límite lateral.
Une todo con trazos suaves, sin levantar el lápiz donde la función sea continua.

Ejemplo

Condiciones tipo parcial

Construye la gráfica de una función $h$ que cumpla:

$h (- 2) = h (2) = 0$
$lim_{x \to 0} h (x) = + \infty$
$lim_{x \to - 3} h (x) = + \infty$
$lim_{x \to + \infty} h (x) = - 1$
asíntota oblicua $y = - x - 4$ hacia la izquierda

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Asíntotas verticales: $x = - 3$ y $x = 0$ . A los dos lados de cada una la curva sube, porque el límite es $+ \infty$ sin especificar lado.

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Una gráfica posible. Hay infinitas que cumplen las mismas condiciones.

Respeta cada condición, y solo esas

Un detalle que se olvida: si te dicen que $f$ es continua en su dominio salvo en ciertos puntos, no puedes meter saltos ni huecos en otros lados. Y si el límite es $+ \infty$ sin indicar lado, la curva sube por los dos lados de la vertical.

Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.