Módulo 2 · Tema 6 de 6

Continuidad

Continuidad en un punto, tipos de discontinuidad, funciones a trozos con parámetros y el teorema de Bolzano.

Al terminar podrás

Decidir si una función es continua en un punto revisando las tres condiciones.
Clasificar una discontinuidad como evitable, de salto o infinita, con fórmulas y con gráficas.
Estudiar la continuidad de funciones a trozos y hallar parámetros que la hagan continua.
Usar los teoremas de Bolzano, del valor intermedio y de Weierstrass.

6 secciones · 14 tipos de ejercicio

Sin levantar el lápiz

Un proceso es continuo cuando no tiene interrupciones. Con funciones pasa lo mismo: una función es continua en un punto si su gráfica pasa por ahí sin cortes, sin huecos y sin saltos. La prueba informal es dibujarla sin levantar el lápiz.

Para convertir esa idea en algo que se pueda calcular, mira las formas en que una gráfica puede romperse en $x = a$ :

La curva salta de una altura a otra, o se dispara al infinito. Ahí no existe el límite.
La curva llega a una altura pero el punto no está. Ahí no existe $f (a)$ .
La curva llega a una altura y el punto está en otra. Ahí el límite y $f (a)$ no coinciden.

Para que no ocurra ninguna de las tres hay que exigir lo contrario.

Definición

Continuidad en un punto

$f$ es continua en $x = a$ si

x \to a lim f (x) = f (a)

Esa igualdad encierra tres condiciones:

$f (a)$ existe.
$lim_{x \to a} f (x)$ existe, es decir, los dos laterales existen, son finitos e iguales.
Los dos números anteriores son iguales.

Aquí

lim_{x \to 1} f (x) = 1, 5

pero

f (1) = 4

. Falla la tercera condición.

Ejemplo

Revisar las tres condiciones

¿Es continua $f (x) = x^{2} - 3 x$ en $x = 2$ ?

1
$f (2) = 4 - 6 = - 2$ . Existe.

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Continuidad en conjuntos e intervalos

Revisar punto por punto sería eterno. Por suerte, las operaciones conservan la continuidad: si $f$ y $g$ son continuas en $a$ , también lo son $f + g$ , $f - g$ , $f \cdot g$ y $\frac{f}{g}$ (esta última si $g (a) \neq = 0$ ). La composición también: si $f$ es continua en $a$ y $g$ en $f (a)$ , entonces $g \circ f$ es continua en $a$ .

De ahí sale una regla práctica: las funciones de uso frecuente son continuas en todo su dominio.

Función	Es continua en
Polinomio	Todo $R$
Racional $\frac{p ( x )}{q ( x )}$	$R$ menos los ceros de $q$
$u (x)$	Donde $u (x) \geq 0$
$e^{u (x)}$ , $a^{u (x)}$	Donde $u$ es continua
$ln u (x)$	Donde $u (x) > 0$

Definición

Continuidad lateral

$f$ es continua por la izquierda de $a$ si $lim_{x \to a^{-}} f (x) = f (a)$ , y por la derecha si $lim_{x \to a^{+}} f (x) = f (a)$ .

$f$ es continua en $[a, b]$ si es continua en cada punto de $(a, b)$ , continua por la derecha en $a$ y por la izquierda en $b$ .

Ejemplo

La raíz en el borde de su dominio

¿Dónde es continua $f (x) = x - 1$ ?

1
El dominio es $[1, + \infty)$ .

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Tipos de discontinuidad

Cuando una función no es continua en $a$ se dice que tiene una discontinuidad ahí. La pregunta del parcial casi siempre es de qué tipo. La clasificación depende de si el límite existe.

Tipo	Qué pasa con los laterales
Evitable	Existen, son finitos e iguales, pero $f (a)$ no existe o es distinto. Se arregla poniendo $f (a)$ igual al límite.
Inevitable de salto	Existen, son finitos y distintos. Redefinir $f (a)$ no lo arregla.
Inevitable infinita	Al menos uno es $\pm \infty$ . Redefinir $f (a)$ no lo arregla.

Evitable: un hueco. El límite existe, el punto falta.

De salto: por la izquierda llega a

- 1

y por la derecha arranca en

2

Infinita: la curva se dispara, hay asíntota vertical.

Ejemplo

¿Se puede elegir el valor? (pregunta de parcial)

Sea $G (x) = \frac{x ^{2} - 16}{x - 4}$ si $x \neq = 4$ y $G (4) = A$ . ¿Se puede elegir $A$ para que $G$ sea continua?

1
Para $x \neq = 4$ : $\frac{( x - 4 ) ( x + 4 )}{x - 4} = x + 4$ .

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Evitable no quiere decir que no importe

Una discontinuidad evitable sigue siendo una discontinuidad. La función tal como está escrita no es continua. Lo de "evitable" solo dice que redefiniendo un punto se podría arreglar.

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Funciones a trozos

Es el ejercicio más repetido del segundo parcial. Dentro de cada tramo la fórmula suele ser continua. Los puntos que hay que revisar son los de cambio de rama y los que anulan un denominador dentro de su propio tramo.

En cada punto de cambio el procedimiento es siempre el mismo:

Calcula el límite por la izquierda con la rama de la izquierda.
Calcula el límite por la derecha con la rama de la derecha.
Calcula $f (a)$ con la rama cuyo tramo incluye al punto.
Compara y clasifica.

Ejemplo

Un solo punto

Analiza la continuidad en $x = 2$ de $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 3 - 2 x x^{2} - 5 1 si x > 2 si x < 2 si x = 2$

1
Por la izquierda: $lim_{x \to 2^{-}} (x^{2} - 5) = - 1$ .

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Ejemplo

Varios puntos, tipo parcial

Estudia la continuidad de $g$ en $x = - 3$ , $x = 0$ , $x = \frac{1}{2}$ y $x = 5$ :

g (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 3 ∣ x + 2∣ - 3 2 x - 1 \frac{1}{x - 5} si x < - 3 si - 3 \leq x \leq 0 si 0 < x \leq 5, x \neq = \frac{1}{2} si x > 5

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En $x = - 3$ : por la izquierda vale $3$ . Por la derecha $∣ - 3 + 2 ∣ - 3 = - 2$ . Laterales finitos y distintos: salto.

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Cuidado con qué rama usas

El error típico es calcular los dos laterales con la misma fórmula. Lee bien los tramos: el signo $<$ o $\leq$ decide a qué rama pertenece el punto, y eso es lo que da $f (a)$ .

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Parámetros para que sea continua

Otra variante clásica: la función trae una letra, como $a$ o $k$ , y te piden su valor para que sea continua en un punto. Se plantea la condición de continuidad como una ecuación: límite por la izquierda igual a límite por la derecha igual a $f (a)$ . Con dos letras salen dos ecuaciones, una por cada punto de cambio.

Ejemplo

Un parámetro

Sea $f (x) = \frac{a x + 3}{2 x}$ si $x < 1$ , $f (x) = 10$ si $1 \leq x < 2$ . Determina $a$ para que $f$ sea continua en $x = 1$ .

1
$f (1) = 10$ y por la derecha el límite también es $10$ .

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Ejemplo

Dos parámetros

Halla $a$ y $b$ para que esta función sea continua en $R$ :

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x^{2} a x + b 2 x + 1 si x < 1 si 1 \leq x \leq 3 si x > 3

1
En $x = 1$ : por la izquierda $1^{2} = 1$ , y $f (1) = a + b$ . Ecuación: $a + b = 1$ .

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Tarifas por tramos

Muchas tarifas cambian de fórmula según el consumo. Si la tarifa del segundo tramo arranca más arriba de donde terminó la del primero, consumir una unidad más produce un salto en lo que pagas. Ajustar el término fijo del segundo tramo para que la función sea continua es justo resolver un ejercicio como este.

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Teoremas de las funciones continuas

La continuidad en un intervalo cerrado $[a, b]$ trae garantías muy útiles. Todas dicen que algo existe, aunque no te digan dónde exactamente.

Definición

Teorema de Bolzano

Si $f$ es continua en $[a, b]$ y $f (a)$ y $f (b)$ tienen signos contrarios, existe al menos un $c \in (a, b)$ con $f (c) = 0$ .

Definición

Teorema del valor intermedio

Si $f$ es continua en $[a, b]$ y $k$ es cualquier número entre $f (a)$ y $f (b)$ , existe al menos un $c \in (a, b)$ con $f (c) = k$ .

Definición

Acotación y teorema de Weierstrass

Si $f$ es continua en $[a, b]$ , entonces está acotada en $[a, b]$ y además alcanza un valor máximo y un valor mínimo en ese intervalo.

Ejemplo

Localizar una raíz

Demuestra que $p (x) = x^{3} + x - 1$ tiene una raíz entre $0$ y $1$ y acércate a ella.

1
$p$ es un polinomio, así que es continuo en $[0, 1]$ .

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La curva no tiene cortes y pasa de debajo del eje a encima, así que tiene que cruzarlo.

Sin continuidad no hay garantía

$f (x) = \frac{1}{x}$ cumple $f (- 1) = - 1 < 0$ y $f (1) = 1 > 0$ , pero nunca vale cero. Bolzano no falla: es que $f$ no es continua en $[- 1, 1]$ porque no existe en $x = 0$ .

Existencia del equilibrio

Si el exceso de demanda $E (p) = D (p) - S (p)$ es continuo, positivo a precios bajos y negativo a precios altos, Bolzano asegura que existe un precio $p^{*}$ con $E (p^{*}) = 0$ . Ese es un precio de equilibrio, aunque no sepamos calcularlo con una fórmula.

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¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.