Módulo 3 · Tema 1 de 10

La derivada y su definición

La tasa de cambio, la pendiente de la tangente y cómo calcular una derivada con el límite.

Al terminar podrás

Calcular e interpretar la tasa media de cambio como pendiente de una secante.
Entender la derivada como la pendiente de la recta tangente y como tasa de cambio instantánea.
Calcular f′(a) y f′(x) con el límite del cociente incremental en polinomios, fracciones, raíces y logaritmos.
Leer la derivada en economía como costo, ingreso o utilidad marginal.

6 secciones · 12 tipos de ejercicio

Cuánto cambia, en promedio

Si un producto costaba 40 dólares hace 2 meses y hoy cuesta 46, el precio subió 6 dólares en 2 meses: 3 dólares por mes en promedio. Esa cuenta, cambio de la salida entre cambio de la entrada, es la tasa media de cambio.

Definición

Tasa media de cambio

La tasa media de cambio de $f$ entre $x = a$ y $x = b$ es

TMC = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} = \frac{Δ y}{Δ x}

Gráficamente es la pendiente de la recta secante que une los puntos $(a, f (a))$ y $(b, f (b))$ .

Ejemplo

Una tasa media

Calcula la tasa media de cambio de $f (x) = x^{2}$ entre $x = 1$ y $x = 3$ .

1
$f (1) = 1$ y $f (3) = 9$ .

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Costo promedio de las unidades adicionales

Si $C (x)$ es el costo de producir $x$ unidades, $\frac{C ( 120 ) - C ( 100 )}{20}$ es lo que cuesta, en promedio, cada una de las 20 unidades extra. Es la tasa media de cambio del costo.

Compruébalo tú

De la secante a la tangente

La tasa media habla de un tramo. Muchas veces interesa el cambio en un instante: la velocidad que marca el velocímetro ahora, no la promedio del viaje. Para eso se acerca el segundo punto al primero.

Toma el punto $(a, f (a))$ y otro un poco más allá, $(a + h, f (a + h))$ . La secante que los une tiene pendiente

\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}

Mueve $h$ hacia cero en el widget y mira cómo la secante gira hasta quedar pegada a la curva en un solo punto. Esa posición límite es la recta tangente.

h

2

$m_{sec} = \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} = 4$

Mientras más pequeño es $h$ , más se parece la secante a la tangente, cuya pendiente es $f^{'} (1) \approx 2$ .

Con

f (x) = x^{2}

a = 1

, la pendiente de la secante es

2 + h

y tiende a

2

$h$	$1$	$0, 5$	$0, 1$	$0, 01$	$0, 001$
Pendiente de la secante	$3$	$2, 5$	$2, 1$	$2, 01$	$2, 001$

Para

f (x) = x^{2}

a = 1

, las pendientes se acercan a

2

Definición

Recta tangente

La recta tangente a la gráfica de $f$ en $(a, f (a))$ es la recta que pasa por ese punto y tiene pendiente

m = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}

siempre que ese límite exista y sea finito.

Compruébalo tú

La derivada en un punto

Definición

Derivada de $f$ en $x = a$

$f$ es derivable en $a$ si existe y es finito el límite

f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}

Ese número se llama derivada de $f$ en $a$ . Es la pendiente de la tangente en $(a, f (a))$ y la tasa de cambio instantánea de $f$ en ese punto.

Una forma equivalente, con $x = a + h$ , es $f^{'} (a) = lim_{x \to a} \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$ .

Al sustituir $h = 0$ directamente siempre sale $\frac{0}{0}$ . El trabajo consiste en transformar el cociente hasta poder cancelar la $h$ del denominador. El procedimiento tiene cuatro pasos:

Calcula $f (a + h)$ sustituyendo $x$ por $a + h$ en la fórmula.
Resta $f (a)$ y simplifica.
Divide entre $h$ y cancela. Si hay raíces, racionaliza. Si hay fracciones, saca común denominador.
Haz $h \to 0$ .

Ejemplo

Un polinomio

Calcula $f^{'} (2)$ si $f (x) = x^{2} - 3 x$ .

1
$f (2 + h) = (2 + h)^{2} - 3 (2 + h) = 4 + 4 h + h^{2} - 6 - 3 h = h^{2} + h - 2$ .

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Ejemplo

Con raíz, tipo parcial

Aplicando la definición, calcula $f^{'} (1)$ siendo $f (x) = 2 x + x + 3$ .

1
$f (1) = 2 + 4 = 4$ y $f (1 + h) = 2 + 2 h + 4 + h$ .

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Los dos errores que más restan puntos

Sustituir $h = 0$ antes de simplificar. Da $\frac{0}{0}$ y no lleva a nada.
Escribir $f (a + h) = f (a) + h$ . Es falso: hay que meter $a + h$ dentro de la fórmula. Si $f (x) = x^{2}$ , entonces $f (2 + h) = (2 + h)^{2}$ y no $4 + h$ .

Compruébalo tú

La función derivada y sus notaciones

En lugar de repetir la cuenta para cada punto, se hace una sola vez con un $x$ cualquiera. El resultado es una nueva función, $f^{'}$ , que a cada $x$ le asigna la pendiente de la tangente en ese punto.

Definición

Función derivada

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

Su dominio son los $x$ donde ese límite existe y es finito.

Ejemplo

La derivada de un polinomio

Calcula por definición la derivada de $f (x) = 3 x^{2} - 5 x + 1$ .

1
$f (x + h) = 3 (x + h)^{2} - 5 (x + h) + 1 = 3 x^{2} + 6 x h + 3 h^{2} - 5 x - 5 h + 1$

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Arrastra el punto sobre la curva.

x_{0} = - 1, 2

f^{'} (x_{0}) \approx 1, 32

La función crece aquíAbre hacia abajo:

f^{''} (x_{0}) < 0

Mueve el punto. Donde la tangente sube,

f^{'} (x) > 0

. Donde baja,

f^{'} (x) < 0

. En

x = \pm 1

la tangente es horizontal.

Notación	Se lee y se usa
$f^{'} (x)$	"efe prima de equis". Es la de Lagrange, la más común en el curso.
$y^{'}$	"ye prima". Se usa cuando la función se escribe $y = \dots$
$\frac{d y}{d x}$ , $\frac{df}{d x}$	"derivada de $y$ respecto de $x$ ". Es la de Leibniz, útil en economía y en la regla de la cadena.
$D_{x} f$	"derivada de $f$ respecto de $x$ ". Aparece en algunos libros.

Lo marginal es la derivada

En economía, la derivada recibe el nombre de marginal. Si $C (x)$ es el costo total, $C^{'} (x)$ es el costo marginal: cuánto aumenta el costo por cada unidad adicional cuando la producción está en $x$ . Igual con el ingreso marginal $I^{'} (x)$ y la utilidad marginal $U^{'} (x)$ . Como la unidad es pequeña frente a la producción total, $C^{'} (x) \approx C (x + 1) - C (x)$ .

Compruébalo tú

Fracciones y raíces: común denominador y conjugado

Con polinomios la $h$ sale sola al desarrollar. Con fracciones y raíces hace falta un truco algebraico antes de poder cancelarla:

Fracciones: resta con común denominador. En el numerador aparece un factor $h$ .
Raíces: multiplica arriba y abajo por el conjugado. El producto $(A - B) (A + B) = A - B$ elimina las raíces del numerador.

Ejemplo

Una fracción

Calcula por definición la derivada de $f (x) = \frac{1}{x + 2}$ .

1
$f (x + h) - f (x) = \frac{1}{x + h + 2} - \frac{1}{x + 2} = \frac{( x + 2 ) - ( x + h + 2 )}{( x + h + 2 ) ( x + 2 )} = \frac{- h}{( x + h + 2 ) ( x + 2 )}$

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Ejemplo

Una raíz, tipo parcial

Calcula por definición la derivada de $g (x) = 2 x + 1$ .

1
$\frac{g ( x + h ) - g ( x )}{h} = \frac{2 x + 2 h + 1 - 2 x + 1}{h}$

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Ejemplo

Fracción y raíz a la vez

Calcula por definición la derivada de $f (x) = \frac{1}{x}$ .

1
Común denominador:
$\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x} = \frac{x - x + h}{x x + h}$

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Ejemplo

Una raíz con parámetro

Halla por definición la derivada de $f (x) = a x^{3}$ , con $a > 0$ y $x > 0$ .

1
Conjugado:
$a (x + h)^{3} - a x^{3} = \frac{a [( x + h ) ^{3} - x ^{3} ]}{a ( x + h ) ^{3} + a x ^{3}}$

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El conjugado va arriba y abajo

Multiplicar solo el numerador por el conjugado cambia la expresión. Se multiplica por una fracción que vale $1$ , con el conjugado en el numerador y en el denominador. Y en el denominador no lo desarrolles: déjalo multiplicado, que ahí está la $h$ que vas a cancelar.

Compruébalo tú

Logaritmos y exponenciales por definición

Para estas funciones no alcanza con álgebra. Hacen falta dos límites notables que salen del número $e$ :

u \to 0 lim \frac{ln ( 1 + u )}{u} = 1 u \to 0 lim \frac{e ^{u} - 1}{u} = 1

El primero viene de $\frac{l n ( 1 + u )}{u} = ln (1 + u)^{1/ u}$ y de que $(1 + u)^{1/ u} \to e$ . El segundo se obtiene del primero cambiando $e^{u} - 1 = t$ .

Ejemplo

Un logaritmo, tipo parcial

Sea $f (x) = ln (2 - x)$ . Halla la derivada por definición.

1
$f (x + h) - f (x) = ln (2 - x - h) - ln (2 - x) = ln \frac{2 - x - h}{2 - x} = ln (1 - \frac{h}{2 - x})$

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Ejemplo

La exponencial

Halla por definición la derivada de $f (x) = e^{x}$ .

1
$\frac{e ^{x + h} - e ^{x}}{h} = \frac{e ^{x} ( e ^{h} - 1 )}{h} = e^{x} \cdot \frac{e ^{h} - 1}{h}$ .

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El orden importa al usar la propiedad del logaritmo

$ln A - ln B = ln \frac{A}{B}$ . Pon $f (x + h)$ arriba y $f (x)$ abajo, y escribe el cociente como $1 + algo$ . Ese "algo" es la $u$ del límite notable.

Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.