Módulo 3 · Tema 2 de 10

Derivabilidad

Derivadas laterales, puntos angulosos y cuspidales, y la relación entre derivabilidad y continuidad.

Al terminar podrás

Calcular derivadas laterales por definición y decidir si una función es derivable en un punto.
Usar que derivable implica continua, y reconocer que lo contrario no es cierto.
Distinguir puntos angulosos, cuspidales y de tangente vertical, en fórmulas y en gráficas.
Hallar parámetros para que una función a trozos sea continua y derivable, como en el segundo parcial.

6 secciones · 11 tipos de ejercicio

Cuándo hay recta tangente

Una función es derivable en un punto cuando su gráfica admite ahí una recta tangente con pendiente finita. Casi todas las funciones del curso lo son en casi todos sus puntos. Lo interesante son los puntos donde falla, y fallan por dos motivos:

La gráfica se rompe: salto, hueco o asíntota. Si no hay continuidad no hay tangente.
La gráfica es continua pero hace un pico o se pone vertical.

Arrastra el punto sobre la curva.

x_{0} = - 1, 6

f^{'} (x_{0}) \approx - 1

Mueve el punto sobre

∣ x ∣

. A la izquierda la pendiente es

- 1

y a la derecha

1

. En

x = 0

no hay una sola tangente posible.

Suave quiere decir derivable

Si haces zoom sobre un punto donde la función es derivable, la curva se ve cada vez más recta. En un pico, por mucho que acerques, el pico sigue ahí. Esa es la intuición de la derivabilidad.

Compruébalo tú

Derivadas laterales

Igual que el límite se estudia por cada lado, la derivada también. Se hace $h \to 0$ solo con valores negativos o solo con valores positivos.

Definición

Derivadas laterales

f_{-}^{'} (a) = h \to 0^{-} lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}

f_{+}^{'} (a) = h \to 0^{+} lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}

$f$ es derivable en $a$ si y solo si las dos existen, son finitas y son iguales. En ese caso $f^{'} (a)$ es ese valor común.

Ejemplo

El valor absoluto

Estudia la derivabilidad de $f (x) = ∣ x - 2 ∣$ en $x = 2$ .

1
$f (2) = 0$ y $f (2 + h) = ∣ h ∣$ , así que el cociente es $\frac{∣ h ∣}{h}$ .

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Ejemplo

Una función a trozos que sí es derivable

Estudia la derivabilidad en $x = 1$ de $f (x) = {x^{2} 2 x - 1 si x \leq 1 si x > 1$

1
Continuidad: $f (1) = 1$ y $lim_{x \to 1^{+}} (2 x - 1) = 1$ . Es continua.

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Derivar las ramas solo vale si hay continuidad

El atajo de derivar cada fórmula y evaluar en el punto funciona cuando $f$ es continua ahí. Mira esta función:

f (x) = {x^{2} 2 x + 1 si x < 1 si x \geq 1

Las dos ramas tienen derivada $2$ en $x = 1$ , pero $f (1) = 3$ y por la izquierda la función llega a $1$ . Por definición,

f_{-}^{'} (1) = h \to 0^{-} lim \frac{( 1 + h ) ^{2} - 3}{h} = + \infty

No es derivable porque ni siquiera es continua.

Compruébalo tú

Derivable implica continua

Definición

Teorema

Si $f$ es derivable en $a$ , entonces $f$ es continua en $a$ .

Ejemplo

Por qué es cierto

Supón que existe $f^{'} (a)$ . Demuestra que $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ .

1
Escribe la diferencia como un producto: $f (a + h) - f (a) = \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} \cdot h$ .

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Si sabes que...	Puedes concluir
$f$ es derivable en $a$	$f$ es continua en $a$
$f$ no es continua en $a$	$f$ no es derivable en $a$
$f$ es continua en $a$	nada sobre la derivada. $∣ x ∣$ es continua en $0$ y no es derivable ahí.
$f$ no es derivable en $a$	nada sobre la continuidad. Puede ser continua, como $∣ x ∣$ en $0$ .

La implicación va en un solo sentido.

El recíproco es falso

Es la pregunta de verdadero o falso que más se repite. "Si $f$ es continua entonces es derivable" es falso, y el contraejemplo de siempre es $∣ x ∣$ en $x = 0$ .

Compruébalo tú

Puntos angulosos, cuspidales y de tangente vertical

Cuando $f$ es continua en $a$ pero no derivable, las derivadas laterales dicen qué forma tiene la gráfica en ese punto.

Tipo	Derivadas laterales y forma
Punto anguloso	Finitas y distintas. Un pico con dos pendientes, como $∣ x ∣$ en $0$ .
Punto cuspidal	Infinitas de signo contrario. Una punta afilada, vertical por los dos lados, como $3 x^{2}$ en $0$ .
Tangente vertical	Infinitas del mismo signo. Pasa sin pico pero se pone vertical, como $3 x$ en $0$ .

Punto anguloso: pendiente

- 1

a la izquierda y

2

a la derecha.

Punto cuspidal:

2 3 x^{2}

. Llega bajando en vertical y sale subiendo en vertical.

Tangente vertical:

2 3 x

. La recta tangente en el origen es el eje

y

Ejemplo

Raíz cúbica en el origen

Estudia la derivabilidad de $f (x) = 3 x$ y de $g (x) = 3 x^{2}$ en $x = 0$ .

1
Para $f$ : $\frac{3 h}{h} = \frac{1}{3 h ^{2}}$ . El denominador es positivo y tiende a $0$ por los dos lados, así que las dos derivadas laterales valen $+ \infty$ . Tangente vertical.

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Nombres que vas a ver en el parcial

Al punto de tangente vertical algunos profesores lo llaman "punto de derivada infinita". Y a veces piden "demostrar gráficamente" que $f$ no es derivable: basta dibujar la función cerca del punto y mostrar el pico, la punta o el tramo vertical.

Compruébalo tú

Derivabilidad de funciones a trozos

En el parcial casi siempre viene una función a trozos y piden estudiar la derivabilidad en los puntos de cambio. El orden de trabajo es este:

Estudia la continuidad. Si no es continua, ya terminaste: no es derivable.
Si es continua, calcula las dos derivadas laterales. Puedes usar la definición o, como ya sabes que es continua, derivar cada rama y evaluar en el punto.
Compara: iguales y finitas, derivable. Finitas y distintas, anguloso. Infinitas, cuspidal o tangente vertical según los signos.

Ejemplo

Tipo parcial

Sea

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ ln (x + 6) - \frac{x}{4} + \frac{5}{2} (x - 4)^{2} - 2 si - 6 < x < - 2 si - 2 \leq x < 2 si x \geq 2

Estudia la derivabilidad en $x = - 2$ y en $x = 2$ . ¿Es $(2, f (2))$ un punto anguloso, cuspidal o de derivada infinita?

1
En $x = - 2$ : $f (- 2) = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} = 3$ , pero por la izquierda $ln (- 2 + 6) = ln 4 \approx 1, 39$ . Hay un salto. No es continua, así que no es derivable.

1 de 4

El salto en

x = - 2

y el pico en

x = 2

se ven a simple vista. Eso es demostrarlo gráficamente.

Compruébalo tú

Parámetros para que sea derivable

Si piden que $f$ sea derivable en un punto de cambio, salen dos ecuaciones: una por la continuidad y otra por la igualdad de las derivadas laterales. Si solo piden continuidad, sale una.

Mueve los deslizadores hasta que la recta $y = a x + b$ toque a la parábola $y = x^{2}$ en $x = 1$ sin cortarla. Eso ocurre con $a = 2$ y $b = - 1$ : la recta es la tangente.

y = 1

a

0

b

1

La parábola es la rama

x \leq 1

. La recta es la rama

x > 1

Ejemplo

Dos parámetros

Determina $a$ y $b$ para que esta función sea derivable en $x = 1$ :

f (x) = {x^{2} a x + b si x \leq 1 si x > 1

1
Continuidad: $f (1) = 1$ y por la derecha $a + b$ . Ecuación: $a + b = 1$ .

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Ejemplo

Tres parámetros, tipo parcial

Sea

h (z) = ⎩ ⎨ ⎧ e^{3 z} d z^{2} + ez + f z^{3} si z < 0 si 0 \leq z \leq 1 si z > 1

Determina $d$ , $e$ y $f$ para que $h$ sea continua en $z = 0$ y derivable en $z = 1$ .

1
Aquí $e$ es un parámetro, no el número de Euler. En el exponente $e^{3 z}$ sí es el número de Euler.

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Costos sin quiebres

Cuando una empresa cambia de tecnología a partir de cierto volumen, su función de costo puede ir por tramos. Si además de continua es derivable en el cambio, el costo marginal no salta: la unidad siguiente cuesta lo mismo justo antes y justo después del cambio. Eso es pedir derivabilidad.

Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.