Módulo 3 · Tema 3 de 10

Reglas de derivación

Potencia, producto, cociente, cadena, exponenciales y logaritmos para derivar sin usar el límite.

Al terminar podrás

Derivar polinomios y potencias con exponente negativo o fraccionario sin usar el límite.
Aplicar las reglas del producto y del cociente.
Reconocer una función compuesta y derivarla con la regla de la cadena.
Derivar exponenciales y logaritmos en cualquier base, incluidos los que llevan raíces adentro.

6 secciones · 14 tipos de ejercicio

Del límite a las reglas

Calcular cada derivada con el límite $lim_{h \to 0} \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$ funciona, pero es largo. Por suerte ese límite se calcula una sola vez para cada tipo de función y el resultado queda como regla. Con un puñado de reglas puedes derivar casi cualquier función del curso en pocas líneas.

La derivada se escribe de varias formas que significan lo mismo: $f^{'} (x)$ , $y^{'}$ o $\frac{d y}{d x}$ .

Arrastra el punto sobre la curva.

x_{0} = - 1, 2

f^{'} (x_{0}) \approx 1, 32

Mueve el punto. La pendiente de la tangente en cada

x

es justo el valor de

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3

. Las reglas te dan esa fórmula sin calcular límites.

Definición

Reglas básicas

Constante: $(c)^{'} = 0$ . Una constante no cambia, su tasa de cambio es cero.
Potencia: $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ para cualquier exponente real $n$ .
Constante por función: $(c f)^{'} = c f^{'}$ .
Suma y resta: $(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}$ .

Ejemplo

Potencias de todo tipo

Deriva $f (x) = 4 x^{5} - \frac{3}{x ^{2}} + 6 3 x^{2} - 7$ .

1
Antes de derivar, escribe todo como potencia de $x$ : $\frac{3}{x ^{2}} = 3 x^{- 2}$ y $3 x^{2} = x^{2/3}$ . Queda $f (x) = 4 x^{5} - 3 x^{- 2} + 6 x^{2/3} - 7$ .

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Reescribe antes de derivar

La regla de la potencia solo se aplica a $x^{n}$ . Si ves $\frac{1}{x ^{3}}$ o $x$ , pásalos primero a $x^{- 3}$ y $x^{1/2}$ . Un error muy común es derivar $\frac{1}{x ^{3}}$ como $\frac{1}{3 x ^{2}}$ , que está mal: lo correcto es $- 3 x^{- 4} = - \frac{3}{x ^{4}}$ .

Compruébalo tú

Producto y cociente

Cuando dos funciones de $x$ se multiplican o se dividen no basta con derivar cada una por separado. Hay que usar estas dos reglas, que la cátedra demuestra a partir de la definición de derivada.

Definición

Regla del producto y regla del cociente

(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}} (v \neq = 0)

En el cociente el orden importa porque hay una resta. Se recita así: "derivada de arriba por abajo, menos arriba por derivada de abajo, todo sobre abajo al cuadrado".

Ejemplo

Un producto

Deriva $f (x) = (x^{2} + 1) (3 x - 2)$ .

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$u = x^{2} + 1$ con $u^{'} = 2 x$ , y $v = 3 x - 2$ con $v^{'} = 3$ .

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Ejemplo

Un cociente

Deriva $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ .

1
$u = 2 x + 1$ con $u^{'} = 2$ , y $v = x - 3$ con $v^{'} = 1$ .

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Las dos trampas de siempre

$(u v)^{'} \neq = u^{'} v^{'}$ y $(\frac{u}{v})^{'} \neq = \frac{u ^{'}}{v ^{'}}$ . Si derivas cada pedazo y multiplicas o divides, la respuesta sale mal. Por ejemplo, con $x^{2} \cdot x^{3} = x^{5}$ la derivada correcta es $5 x^{4}$ , mientras que $2 x \cdot 3 x^{2} = 6 x^{3}$ .

El ingreso es un producto

Si una empresa vende $q$ unidades a un precio $p (q)$ que depende de cuánto vende, el ingreso es $I (q) = p (q) \cdot q$ . Por la regla del producto, $I^{'} (q) = p^{'} (q) q + p (q)$ . Lo vas a usar en el tema de análisis marginal.

Compruébalo tú

La regla de la cadena

Muchas funciones son una función metida dentro de otra. En $h (x) = x^{2} + 1$ primero se calcula $x^{2} + 1$ y después se le saca raíz. Es una composición: $h = f \circ g$ con $g (x) = x^{2} + 1$ (la de adentro) y $f (x) = x$ (la de afuera).

x

2

Entra

2

→

g (x) = x^{2} + 1

5

→

f (x) = x

2, 236

El resultado final es $f (g (2)) = 2, 236$ .

La entrada pasa primero por

g

y su salida entra en

f

. Para derivar hay que tomar en cuenta las dos máquinas.

Definición

Regla de la cadena

(f \circ g)^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

En palabras: derivas la de afuera dejando quieta la de adentro, y multiplicas por la derivada de la de adentro. Un caso que vas a usar a cada rato es la potencia de una función:

(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}

Ejemplo

Potencia de un paréntesis

Deriva $f (x) = (3 x^{2} - 5)^{4}$ .

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Afuera hay una potencia cuarta y adentro $u = 3 x^{2} - 5$ , con $u^{'} = 6 x$ .

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Ejemplo

Raíces

Deriva $f (x) = x^{2} + 1$ y $g (x) = 3 (x^{2} - 1)^{2}$ .

1
$f (x) = (x^{2} + 1)^{1/2}$ . Entonces $f^{'} (x) = \frac{1}{2} (x^{2} + 1)^{- 1/2} \cdot 2 x = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ .

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El error número uno

Olvidar multiplicar por la derivada de adentro. Si derivas $(3 x^{2} - 5)^{4}$ como $4 (3 x^{2} - 5)^{3}$ y te detienes, te faltó el $6 x$ . Antes de cerrar una derivada pregúntate: ¿lo de adentro era solo $x$ ? Si no, falta un factor.

Compruébalo tú

Exponenciales

La función $e^{x}$ tiene una propiedad única: su derivada es ella misma. En cada punto, la pendiente de su gráfica es igual a su altura. Para otras bases aparece un factor $ln a$ , que la guía de la cátedra deduce tomando logaritmo: si $f (x) = a^{x}$ , entonces $ln f (x) = x ln a$ , y al derivar los dos lados sale $f^{'} (x) = a^{x} ln a$ .

Definición

Derivadas de exponenciales

(e^{x})^{'} = e^{x} (e^{u})^{'} = e^{u} u^{'}

(a^{x})^{'} = a^{x} ln a (a > 0)

(a^{u})^{'} = a^{u} ln a \cdot u^{'}

Ejemplo

Tres exponenciales

Deriva $f (x) = e^{x^{2} - 1}$ , $g (x) = 5^{3 x}$ y $h (x) = x e^{- x^{2} /2}$ .

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$f$ : el exponente es $u = x^{2} - 1$ con $u^{'} = 2 x$ . Entonces $f^{'} (x) = 2 x e^{x^{2} - 1}$ .

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Potencia y exponencial no son lo mismo

En $x^{3}$ la base es variable y el exponente fijo: regla de la potencia, $3 x^{2}$ . En $3^{x}$ la base es fija y el exponente variable: regla exponencial, $3^{x} ln 3$ . Derivar $3^{x}$ como $x \cdot 3^{x - 1}$ es un error frecuente.

Crecimiento continuo

Una población o un capital que crece de forma continua a una tasa $r$ se modela con $P (t) = P_{0} e^{r t}$ . Su derivada es $P^{'} (t) = r P_{0} e^{r t} = r P (t)$ : la velocidad de crecimiento es proporcional a lo que ya hay. Por eso $r$ se llama tasa de crecimiento.

Compruébalo tú

Logaritmos

La derivada de $ln x$ es $\frac{1}{x}$ . Con la cadena, la derivada de $ln u$ es la derivada de adentro sobre lo de adentro. Para otras bases se cambia a logaritmo natural, $lo g_{b} u = \frac{l n u}{l n b}$ , y aparece $ln b$ dividiendo.

Definición

Derivadas de logaritmos

(ln x)^{'} = \frac{1}{x} (ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}

(lo g_{b} u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u ln b}

En los parciales $lo g$ sin base es base 10 y $Ln$ es lo mismo que $ln$ .

Ejemplo

Usar propiedades antes de derivar

Deriva $f (x) = ln (\frac{x - 1}{x + 1})$ y $g (x) = lo g_{3} x^{3} + 4$ .

1
Para $f$ separa con $ln \frac{A}{B} = ln A - ln B$ : $f (x) = ln (x - 1) - ln (x + 1)$ .

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Lo que el logaritmo no hace

Las propiedades valen para productos, cocientes y potencias, no para sumas: $ln (a + b) \neq = ln a + ln b$ . Y al derivar, $(ln u)^{'}$ no es $\frac{1}{u}$ a secas, falta multiplicar por $u^{'}$ .

Compruébalo tú

Tabla resumen y derivadas largas

Función	Derivada	Ejemplo
$c$	$0$	$(7)^{'} = 0$
$x^{n}$	$n x^{n - 1}$	$(x^{- 2})^{'} = - 2 x^{- 3}$
$u^{n}$	$n u^{n - 1} u^{'}$	$((x^{2} + 1)^{3})^{'} = 6 x (x^{2} + 1)^{2}$
$u$	$\frac{u ^{'}}{2 u}$	$(5 x)^{'} = \frac{5}{2 5 x}$
$n u$	$\frac{u ^{'}}{n n u ^{n - 1}}$	$(3 x)^{'} = \frac{1}{3 3 x ^{2}}$
$e^{u}$	$e^{u} u^{'}$	$(e^{2 x})^{'} = 2 e^{2 x}$
$a^{u}$	$a^{u} ln a \cdot u^{'}$	$(2^{x^{2}})^{'} = 2 x 2^{x^{2}} ln 2$
$ln u$	$\frac{u ^{'}}{u}$	$(ln (x^{2} + 1))^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$
$lo g_{b} u$	$\frac{u ^{'}}{u ln b}$	$(lo g_{2} x)^{'} = \frac{1}{x l n 2}$
$u v$	$u^{'} v + u v^{'}$	$(x e^{x})^{'} = e^{x} + x e^{x}$
$\frac{u}{v}$	$\frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$	$(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$
$f (g (x))$	$f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$	$(ln (ln x))^{'} = \frac{1}{x l n x}$

En los parciales salen funciones largas que mezclan varias reglas. El método es ir por capas:

Mira cuál es la última operación que harías al evaluar la función. Esa decide la primera regla.
Usa propiedades de logaritmos y de potencias para simplificar antes de derivar.
Deriva cada pieza con la cadena y no simplifiques hasta el final.

Ejemplo

Ejercicio tipo parcial

Deriva $y = \frac{ln ( x ^{2} + 2 x )}{x + 1}$ .

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La última operación es una división: regla del cociente con $u = ln (x^{2} + 2 x)$ y $v = x + 1$ .

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Ejemplo

Producto con logaritmo

Deriva $y = e^{x} ln (\frac{x}{2})$ .

1
Producto con $u = e^{x}$ y $v = ln \frac{x}{2}$ .

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Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.