Módulo 3 · Tema 4 de 10

Recta tangente y diferencial

Tangentes en un punto, con pendiente dada o paralelas a una recta, y aproximaciones con el diferencial.

Al terminar podrás

Escribir la ecuación de la recta tangente y de la recta normal en un punto.
Hallar puntos donde la tangente tiene una pendiente dada, es horizontal o es paralela o perpendicular a una recta.
Aproximar valores de una función con la recta tangente.
Distinguir el incremento $Δ y$ del diferencial $d y$ y calcular el error.

5 secciones · 14 tipos de ejercicio

La ecuación de la recta tangente

Si haces zoom sobre una curva suave en un punto, cada vez se parece más a una recta. Esa recta es la tangente, y su pendiente es la derivada en ese punto. Para escribir cualquier recta basta con un punto y una pendiente, y aquí tenemos las dos cosas: el punto $(a, f (a))$ y la pendiente $f^{'} (a)$ .

Arrastra el punto sobre la curva.

x_{0} = - 1, 6

f^{'} (x_{0}) \approx 0, 92

Mueve el punto y observa cómo cambia la tangente. Donde la derivada vale cero, la tangente queda horizontal.

Definición

Recta tangente en x = a

y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)

Es la ecuación punto pendiente con el punto $(a, f (a))$ y la pendiente $m = f^{'} (a)$ . Al despejar $y$ queda en la forma $y = m x + b$ .

Ejemplo

Tangente a un polinomio

Halla la recta tangente a $f (x) = x^{2} - 3 x + 1$ en $x = 2$ .

1
Punto: $f (2) = 4 - 6 + 1 = - 1$ . La tangente pasa por $(2, - 1)$ .

1 de 3

Ejemplo

Tangente al logaritmo

Halla la recta tangente a $f (x) = ln x$ en el punto $(e, 1)$ .

1
$f^{'} (x) = \frac{1}{x}$ , así que la pendiente es $f^{'} (e) = \frac{1}{e}$ .

1 de 3

La tangente a

ln x

(e, 1)

y = \frac{x}{e}

Compruébalo tú

La recta normal

La recta normal pasa por el mismo punto que la tangente pero es perpendicular a ella. Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es $- 1$ , así que la pendiente de la normal es el inverso de $f^{'} (a)$ con el signo cambiado.

Definición

Recta normal en x = a

y - f (a) = - \frac{1}{f ^{'} ( a )} (x - a)

Vale cuando $f^{'} (a) \neq = 0$ . Si $f^{'} (a) = 0$ la tangente es horizontal y la normal es la recta vertical $x = a$ .

Ejemplo

Tangente y normal juntas

Halla la tangente y la normal a $f (x) = x^{2}$ en $x = 1$ .

1
Punto: $(1, 1)$ . Pendiente de la tangente: $f^{'} (1) = 2$ .

1 de 4

No basta con cambiar el signo

Si la tangente tiene pendiente $2$ , la normal no tiene pendiente $- 2$ sino $- \frac{1}{2}$ . Hay que invertir y cambiar el signo.

Compruébalo tú

Tangentes con una condición

Muchas preguntas de parcial dan la pendiente y piden el punto. La idea es siempre la misma: traducir la condición a una pendiente $m$ , resolver $f^{'} (x) = m$ para encontrar dónde ocurre, y después armar la recta.

Horizontal o paralela al eje $x$ : $m = 0$ .
Paralela a una recta: la misma pendiente que esa recta.
Perpendicular a una recta de pendiente $k$ : $m = - \frac{1}{k}$ .

Ejemplo

Paralela a una recta dada

Encuentra la recta tangente a $f (x) = 2 x^{2} + 3$ que es paralela a $8 x - y + 3 = 0$ .

1
Despejando $y$ en la recta: $y = 8 x + 3$ . Su pendiente es $8$ .

1 de 4

Ejemplo

Tangentes horizontales

¿En qué puntos de $f (x) = x^{3} - 3 x$ la tangente es horizontal?

1
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 0$ da $x^{2} = 1$ , es decir, $x = 1$ o $x = - 1$ .

1 de 3

En la cima y en el fondo de cada ondulación la tangente es horizontal.

Ejemplo

Pendiente dada en una función racional

¿En qué puntos de $y = \frac{x}{1 - x ^{2}}$ la tangente tiene pendiente $1$ ?

1
Cociente: $y^{'} = \frac{( 1 - x ^{2} ) - x ( - 2 x )}{( 1 - x ^{2} ) ^{2}} = \frac{1 + x ^{2}}{( 1 - x ^{2} ) ^{2}}$ .

1 de 4

Lee bien la pendiente de la recta dada

En $a x + b y + c = 0$ la pendiente es $- \frac{a}{b}$ , no $a$ . Lo más seguro es despejar $y$ antes de leer nada. En $8 x - y + 3 = 0$ queda $y = 8 x + 3$ , con pendiente $8$ .

Compruébalo tú

Aproximación lineal

Cerca del punto de tangencia la curva y su tangente casi coinciden. Por eso se puede usar la tangente, que es una recta fácil de evaluar, para estimar valores de la función que son difíciles de calcular a mano.

Definición

Aproximación lineal

Para $x$ cerca de $a$ :

f (x) \approx f (a) + f^{'} (a) (x - a)

El lado derecho es justo la recta tangente en $x = a$ .

Ejemplo

Una raíz sin calculadora

Aproxima $4, 1$ .

1
Usamos $f (x) = x$ cerca de $a = 4$ , porque ahí la raíz es exacta: $f (4) = 2$ .

1 de 4

Ejemplo

Leer la aproximación en una gráfica

La gráfica de $f$ pasa por $(5, 20)$ y su recta tangente en ese punto corta al eje $y$ en $5$ . Aproxima $f (6)$ .

1
La tangente pasa por $(0, 5)$ y $(5, 20)$ . Su pendiente es $\frac{20 - 5}{5 - 0} = 3$ , así que $f^{'} (5) = 3$ .

1 de 3

La tangente en

x = 5

sirve para estimar

f (6)

El costo de una unidad más

Con $Δ q = 1$ la aproximación lineal dice $C (q + 1) - C (q) \approx C^{'} (q)$ . Por eso el costo marginal $C^{'} (q)$ se interpreta como el costo aproximado de producir una unidad adicional.

Incremento y diferencial

Cuando $x$ pasa de $x_{0}$ a $x_{0} + Δ x$ , la función cambia en una cantidad exacta llamada incremento. Si en vez de moverte sobre la curva te mueves sobre la tangente, el cambio se llama diferencial. El diferencial es fácil de calcular y, si $Δ x$ es pequeño, se parece mucho al incremento.

Definición

Incremento, diferencial y error

Incremento (cambio real): $Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})$ .
Diferencial (cambio sobre la tangente): $d y = f^{'} (x_{0}) d x$ , con $d x = Δ x$ .
Error de la aproximación: $∣ Δ y - d y ∣$ .

Con

f (x) = x^{2}

x_{0} = 1

d x = 1

: el cambio sobre la tangente es

d y = 2

y el cambio real es

Δ y = 3

Ejemplo

Paso pequeño

Para $f (x) = x^{2}$ , compara $Δ y$ y $d y$ cuando $x$ pasa de $3$ a $3, 1$ .

1
$Δ y = f (3, 1) - f (3) = 9, 61 - 9 = 0, 61$ .

1 de 3

Ejemplo

Paso grande, como en un parcial

Sea $h (x) = (2 x - 8) e^{x + 5}$ . La variable disminuye de $x = 4$ a $x = - 1$ . Calcula la variación real, su aproximación con el diferencial y el error.

1
$Δ x = - 1 - 4 = - 5$ .

1 de 5

dy no es el cambio real

$d y$ es una estimación y $Δ y$ es lo que de verdad pasa. Si te piden la variación de la función, calcula $Δ y$ . Si te piden una aproximación, usa $d y$ .

Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.