Módulo 3 · Tema 5 de 10

Análisis marginal y elasticidad

Costo e ingreso marginal y la elasticidad de una función, con su lectura económica.

Al terminar podrás

Calcular e interpretar el costo, el ingreso y la utilidad marginal.
Calcular el costo promedio y su derivada, y relacionarlo con el costo marginal.
Calcular la elasticidad de una función en un punto con $E_{f} (x) = \frac{x}{f ( x )} f^{'} (x)$ .
Clasificar la demanda como elástica, inelástica o unitaria y predecir qué pasa con el ingreso al cambiar el precio.

6 secciones · 12 tipos de ejercicio

Lo marginal es la derivada

En economía la palabra marginal significa "lo que pasa con una unidad más". Si una fábrica produce 50 unidades, el costo marginal responde a la pregunta: ¿cuánto más cuesta producir la número 51? Esa pregunta es una tasa de cambio, y por eso la respuesta es una derivada.

Definición

Funciones marginales

Si $C (q)$ es el costo total de producir $q$ unidades, el costo marginal es $C^{'} (q)$ . Del mismo modo, el ingreso marginal es $I^{'} (q)$ y la utilidad marginal es $U^{'} (q)$ .

Por la aproximación lineal, con $Δ q = 1$ :

C (q + 1) - C (q) \approx C^{'} (q)

Ejemplo

Costo marginal y costo real

Supón que el costo total, en dólares, es $C (q) = 0, 1 q^{2} + 5 q + 200$ . Calcula el costo marginal en $q = 50$ y compáralo con el costo real de la unidad 51.

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$C^{'} (q) = 0, 2 q + 5$ , así que $C^{'} (50) = 10 + 5 = 15$ .

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Arrastra el punto sobre la curva.

x_{0} = 3, 6

f^{'} (x_{0}) \approx 1, 696

Una curva de costo total típica. La pendiente de la tangente es el costo marginal: primero baja y después sube.

Costo marginal no es costo total

$C (50)$ es lo que cuesta producir las 50 unidades juntas. $C^{'} (50)$ es lo que cuesta, aproximadamente, la siguiente. No los confundas al responder.

Compruébalo tú

Ingreso y utilidad marginal

El ingreso es precio por cantidad, $I (q) = p \cdot q$ . Si el precio es fijo, el ingreso marginal es el precio. Pero casi siempre, para vender más hay que bajar el precio, y la demanda se escribe como $p = a - b q$ . Entonces el ingreso es un producto de dos cosas que dependen de $q$ .

La utilidad, o ganancia, es lo que queda: $U (q) = I (q) - C (q)$ . Al derivar, $U^{'} (q) = I^{'} (q) - C^{'} (q)$ .

Ejemplo

Ingreso, costo y utilidad

Supón que la demanda es $p = 100 - 2 q$ y el costo es $C (q) = 20 q + 50$ . Calcula el ingreso marginal y la utilidad marginal en $q = 15$ .

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$I (q) = q (100 - 2 q) = 100 q - 2 q^{2}$ , así que $I^{'} (q) = 100 - 4 q$ e $I^{'} (15) = 40$ .

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Ingreso marginal igual a costo marginal

Mientras $I^{'} (q) > C^{'} (q)$ , cada unidad extra deja más de lo que cuesta y conviene producirla. Cuando $I^{'} (q) = C^{'} (q)$ la utilidad deja de crecer. Esta es la regla de producción que verás en microeconomía, y en el tema de extremos vas a ver cómo comprobar que ahí hay un máximo.

Ingreso marginal no es el precio

Con $p = 100 - 2 q$ y $q = 15$ el precio es $70$ , pero el ingreso marginal es $40$ . La diferencia aparece porque, para vender una unidad más, hay que bajar el precio de todas las demás.

Compruébalo tú

Costo promedio

El costo promedio es lo que cuesta, en promedio, cada unidad: $C (q) = \frac{C ( q )}{q}$ . Al principio suele bajar, porque el costo fijo se reparte entre más unidades, y después sube.

Definición

Derivada del costo promedio

Por la regla del cociente:

C^{'} (q) = \frac{q C ^{'} ( q ) - C ( q )}{q ^{2}} = \frac{1}{q} (C^{'} (q) - C (q))

El signo depende de comparar el marginal con el promedio. Si $C^{'} (q) < C (q)$ el promedio baja. Si $C^{'} (q) > C (q)$ el promedio sube. Donde son iguales, el promedio toca su mínimo.

Ejemplo

El mínimo del costo promedio

Con $C (q) = q^{2} + 4 q + 100$ , halla dónde el costo promedio deja de bajar.

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$C (q) = q + 4 + \frac{100}{q}$ .

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La curva de costo marginal corta a la de costo promedio justo en su mínimo.

Compruébalo tú

Elasticidad de una función

La derivada mide cambios en unidades: dólares por kilo, unidades por bolívar. Eso trae un problema, porque si cambias de unidades cambia la derivada. La elasticidad compara cambios porcentuales, así que no depende de las unidades. Responde: si $x$ sube 1 %, ¿en qué porcentaje cambia $f$ ?

Definición

Elasticidad de f en x

La guía de la cátedra la obtiene como el límite del cociente de las variaciones relativas:

E_{f} (x) = h \to 0 lim \frac{\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{f ( x )}}{\frac{h}{x}} = \frac{x}{f ( x )} f^{'} (x)

Vale donde $f (x) \neq = 0$ . Lectura: si $x$ aumenta 1 %, $f (x)$ cambia aproximadamente $E_{f} (x)$ %.

Ejemplo

Tres elasticidades

Calcula la elasticidad de $f (x) = x^{2}$ , de $g (x) = 3 x + 6$ en $x = 2$ y de $h (x) = \frac{k}{x}$ .

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$f$ : $E_{f} (x) = \frac{x}{x ^{2}} \cdot 2 x = 2$ . Vale $2$ en todos los puntos. Si $x$ sube 1 %, $x^{2}$ sube cerca de 2 %.

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Atajo para potencias

Para $f (x) = k x^{n}$ la elasticidad vale $n$ en todos los puntos. Además, la elasticidad de un producto es la suma de las elasticidades: $E_{f g} = E_{f} + E_{g}$ .

Evalúa todo en el mismo punto

En $E_{f} (a) = \frac{a}{f ( a )} f^{'} (a)$ las tres cosas van evaluadas en $a$ . Un error común es usar $f^{'} (a)$ sola, que es la derivada y no la elasticidad.

Compruébalo tú

Elasticidad de la demanda

El uso más frecuente es la elasticidad precio de la demanda. Si $q = q (p)$ es la cantidad demandada a precio $p$ :

E (p) = \frac{p}{q ( p )} q^{'} (p)

Como la demanda baja cuando sube el precio, $q^{'} (p) < 0$ y la elasticidad sale negativa. Muchos libros, y la guía de la cátedra, le ponen un signo menos delante para trabajar con un número positivo. Para clasificar se usa el valor absoluto.

Valor	La demanda es
$∣ E ∣ > 1$	Elástica. La cantidad cambia en mayor proporción que el precio.
$∣ E ∣ < 1$	Inelástica. La cantidad cambia en menor proporción que el precio.
$∣ E ∣ = 1$	Unitaria. Cambian en la misma proporción.

Ejemplo

Una demanda lineal

Supón que la demanda es $q = 120 - 3 p$ . Calcula la elasticidad en $p = 10$ , $p = 20$ y $p = 30$ .

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$q^{'} (p) = - 3$ , así que $E (p) = \frac{- 3 p}{120 - 3 p}$ .

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La demanda

q = 120 - 3 p

con el precio en el eje horizontal. La pendiente es la misma en toda la recta, pero la elasticidad no: por debajo de

p = 20

es inelástica y por encima es elástica.

Pendiente y elasticidad son cosas distintas

Una demanda lineal tiene pendiente constante y aun así pasa por los tres tipos de elasticidad. No digas que una recta "empinada" es inelástica sin hacer la cuenta en el punto.

Compruébalo tú

Elasticidad e ingreso

¿Le conviene a una empresa subir el precio? Depende de la elasticidad. El ingreso como función del precio es $I (p) = p q (p)$ . Por la regla del producto:

I^{'} (p) = q (p) + p q^{'} (p) = q (p) (1 + \frac{p}{q ( p )} q^{'} (p)) = q (p) (1 + E)

Como $q (p) > 0$ , el signo de $I^{'} (p)$ es el signo de $1 + E$ .

Demanda	Si el precio sube un poco
Inelástica, $∣ E ∣ < 1$	$1 + E > 0$ , el ingreso aumenta
Elástica, $∣ E ∣ > 1$	$1 + E < 0$ , el ingreso disminuye
Unitaria, $∣ E ∣ = 1$	$1 + E = 0$ , el ingreso no cambia y está en su máximo

Ejemplo

El precio que maximiza el ingreso

Con la demanda $q = 120 - 3 p$ , ¿en qué precio el ingreso es máximo?

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$I (p) = p (120 - 3 p) = 120 p - 3 p^{2}$ e $I^{'} (p) = 120 - 6 p$ .

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Lectura económica

Los bienes con pocos sustitutos suelen tener demanda inelástica: aunque suba el precio, la gente sigue comprando casi lo mismo, y el ingreso del vendedor sube. Con muchos sustitutos la demanda es elástica y subir el precio espanta a los compradores.

Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.