Módulo 3 · Tema 6 de 10

Derivadas sucesivas, logarítmica e implícita

Derivar varias veces, derivar con logaritmos y derivar curvas donde y no está despejada.

Al terminar podrás

Calcular derivadas segunda, tercera y de orden $n$ , y reconocer patrones.
Derivar con logaritmos productos largos y funciones de la forma $f (x)^{g (x)}$ .
Derivar curvas definidas implícitamente y evaluar $\frac{d y}{d x}$ en un punto.
Hallar la recta tangente a una curva implícita, como en el tercer parcial.

6 secciones · 13 tipos de ejercicio

Derivadas sucesivas

La derivada $f^{'}$ es una función nueva, así que se puede derivar otra vez. El resultado es la segunda derivada $f^{''}$ , que mide cómo cambia la pendiente. Si $f^{'}$ dice qué tan rápido sube la función, $f^{''}$ dice si ese ritmo se acelera o se frena.

Definición

Derivadas de orden superior

f^{''} (x) f^{'''} (x) f^{(n)} (x) = (f^{'} (x))^{'} = (f^{''} (x))^{'} = (f^{(n - 1)} (x))^{'}

Desde la cuarta se escribe el orden entre paréntesis: $f^{(4)}$ , $f^{(5)}$ . Otra notación es $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ para la segunda.

Ejemplo

Derivar hasta que se acabe

Calcula todas las derivadas de $f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + x$ .

1
$f^{'} (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 1$ .

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Arrastra el punto sobre la curva.

x_{0} = - 0, 2

f^{'} (x_{0}) \approx 1, 32

La función crece aquíAbre hacia abajo:

f^{''} (x_{0}) < 0

Mueve el punto. Donde

f^{''} (x) = 6 x - 6

es negativa, la pendiente va disminuyendo y la curva se dobla hacia abajo. Donde es positiva, se dobla hacia arriba.

La segunda derivada en economía

Si $C (q)$ es un costo total, $C^{''} (q)$ dice cómo cambia el costo marginal. Si $C^{''} (q) > 0$ , cada unidad adicional cuesta más que la anterior. Es lo que se conoce como rendimientos decrecientes.

Compruébalo tú

La derivada de orden n

Con algunas funciones, al derivar varias veces aparece un patrón. Si lo descubres, puedes escribir la derivada de cualquier orden sin calcular las anteriores.

Función	Derivada de orden $n$
$e^{a x}$	$a^{n} e^{a x}$
$\frac{1}{x}$	$\frac{( - 1 ) ^{n} n !}{x ^{n + 1}}$
$ln x$	$\frac{( - 1 ) ^{n - 1} ( n - 1 )!}{x ^{n}}$
$x^{m}$ con $n \leq m$	$\frac{m !}{( m - n )!} x^{m - n}$

n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n

se lee "

n

factorial". Por ejemplo,

4! = 24

Ejemplo

Descubrir el patrón de 1/x

Halla una fórmula para la derivada de orden $n$ de $f (x) = \frac{1}{x}$ .

1
$f (x) = x^{- 1}$ , $f^{'} (x) = - x^{- 2}$ , $f^{''} (x) = 2 x^{- 3}$ , $f^{'''} (x) = - 6 x^{- 4}$ , $f^{(4)} (x) = 24 x^{- 5}$ .

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Ejemplo

Verificar una ecuación, como en un parcial

Verifica que $y = \frac{x ^{2} + 2 x + 2}{2}$ satisface $1 + (y^{'})^{2} = 2 y y^{''}$ .

1
$y^{'} = \frac{2 x + 2}{2} = x + 1$ e $y^{''} = 1$ .

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Cuidado con el signo que alterna

En $\frac{1}{x}$ y en $ln x$ el signo cambia en cada derivada. Antes de dar la fórmula, compruébala con $n = 1$ y $n = 2$ .

Compruébalo tú

Derivación logarítmica

Derivar un producto de muchos factores, o un cociente con raíces, se vuelve largo. La idea de la derivación logarítmica es tomar logaritmo primero, porque el logaritmo convierte productos en sumas, cocientes en restas y potencias en multiplicaciones. Derivar sumas es mucho más fácil.

Definición

El procedimiento

Toma logaritmo natural en los dos lados: $ln y = ln f (x)$ .
Usa las propiedades del logaritmo para separar todo lo posible.
Deriva los dos lados. A la izquierda, por la cadena, queda $\frac{y ^{'}}{y}$ .
Despeja $y^{'}$ multiplicando por $y$ lo que salió a la derecha.

Ejemplo

Una raíz de un cociente

Deriva $y = 3 \frac{x + 1}{x - 1}$ .

1
$ln y = \frac{1}{3} [ln (x + 1) - ln (x - 1)]$ .

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Ejemplo

Un producto de tres factores

Deriva $y = \frac{x ^{2} ( x + 1 ) ^{3}}{( x - 2 ) ^{4}}$ .

1
$ln y = 2 ln x + 3 ln (x + 1) - 4 ln (x - 2)$ .

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El lado izquierdo también se deriva con la cadena

$y$ depende de $x$ , así que la derivada de $ln y$ es $\frac{y ^{'}}{y}$ y no $\frac{1}{y}$ . Y al final no olvides multiplicar por $y$ escrita completa.

¿Y si la función es negativa?

El logaritmo solo existe para positivos. Si $y$ puede ser negativa se trabaja con $ln ∣ y ∣$ , cuya derivada también es $\frac{y ^{'}}{y}$ . El resultado final es el mismo.

Base y exponente variables

En $x^{x}$ la base y el exponente dependen de $x$ . No sirve la regla de la potencia, que pide exponente fijo, ni la exponencial, que pide base fija. La derivación logarítmica resuelve el problema porque baja el exponente a multiplicar.

Ejemplo

La función x elevado a x

Deriva $y = x^{x}$ para $x > 0$ .

1
$ln y = x ln x$ .

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Ejemplo

Ejercicio de parcial

Deriva $f (x) = x^{x l n x}$ para $x > 0$ .

1
$ln f (x) = x ln x \cdot ln x = x (ln x)^{2}$ .

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Ejemplo

Otro de parcial

Deriva $g (x) = (\frac{x - 2}{x + 1})^{x^{2} - 3}$ para $x > 2$ .

1
$ln g (x) = (x^{2} - 3) [ln (x - 2) - ln (x + 1)]$ .

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Fórmula directa

Haciendo el procedimiento con letras se obtiene, para $f (x) > 0$ :

(f^{g})^{'} = f^{g} (g^{'} ln f + g \frac{f ^{'}}{f})

Es la suma de lo que darían la regla exponencial y la regla de la potencia por separado.

Compruébalo tú

Derivación implícita

Algunas curvas vienen dadas por una ecuación donde $y$ no está despejada, como la circunferencia $x^{2} + y^{2} = 25$ . A veces despejar es imposible, como en $y^{4} + y^{3} + x y = 1$ . No hace falta despejar: se deriva la ecuación tal como está, recordando que $y$ es una función de $x$ .

Definición

El procedimiento

Deriva los dos lados de la ecuación respecto a $x$ .
Cada término con $y$ se deriva con la cadena y lleva un factor $y^{'}$ . Por ejemplo, $(y^{3})^{'} = 3 y^{2} y^{'}$ y $(e^{y})^{'} = e^{y} y^{'}$ .
Los productos de $x$ con $y$ piden regla del producto: $(x y)^{'} = y + x y^{'}$ .
Junta los términos con $y^{'}$ en un lado, saca factor común y despeja.

Ejemplo

La circunferencia

Halla $y^{'}$ en $x^{2} + y^{2} = 25$ y su valor en el punto $(3, 4)$ .

1
Derivando: $2 x + 2 y y^{'} = 0$ .

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La circunferencia no es la gráfica de una función, pero cerca de

(3, 4)

sí lo es, y ahí tiene tangente.

Ejemplo

Una curva que no se puede despejar

Halla $y^{'}$ en $y^{4} + y^{3} + x y = 1$ y evalúala en $(- 1, 1)$ .

1
Derivando: $4 y^{3} y^{'} + 3 y^{2} y^{'} + y + x y^{'} = 0$ .

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Los dos olvidos típicos

Derivar $y^{2}$ como $2 y$ , sin el $y^{'}$ . Y derivar $x y$ como $x y^{'}$ o como $y$ solamente, sin la regla del producto. Cualquiera de los dos cambia el resultado.

Compruébalo tú

Implícitas de parcial

En el tercer parcial las curvas implícitas suelen traer exponenciales o potencias con $x$ e $y$ mezcladas. La estrategia es combinar las dos técnicas del tema: tomar logaritmo para simplificar y después derivar implícitamente. Un truco que ahorra mucho álgebra: si piden $y^{'}$ en un punto, sustituye el punto justo después de derivar y antes de despejar.

Ejemplo

Exponencial con cociente

Sea $y = f (x)$ definida por $e^{x / y} y = 1$ . Calcula $\frac{d y}{d x}$ en $(0, 1)$ .

1
Comprobamos el punto: $e^{0} \cdot 1 = 1$ .

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Ejemplo

Base y exponente variables

Halla $y^{'}$ si $x^{y} = y^{x}$ .

1
Logaritmo: $y ln x = x ln y$ .

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Ejemplo

Tangente a una curva implícita

Dada $e^{2 (1 - x y)} x^{2} y^{2} = x y$ , halla $y^{'}$ con derivación logarítmica y la tangente en $(1, 1)$ .

1
Cerca de $(1, 1)$ se puede dividir entre $x y$ : $e^{2 (1 - x y)} x y = 1$ .

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Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.