Módulo 3 · Tema 7 de 10

Regla de L'Hôpital

Resolver indeterminaciones 0/0 e ∞/∞ con derivadas, y llevar otras formas a esas dos.

Al terminar podrás

Reconocer cuándo un límite es de la forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ y aplicar la regla de L'Hôpital.
Aplicar la regla varias veces seguidas, revisando la indeterminación en cada paso.
Llevar las formas $0 \cdot \infty$ e $\infty - \infty$ a un cociente.
Resolver las potencias indeterminadas $1^{\infty}$ , $0^{0}$ e $\infty^{0}$ con logaritmos.
Evitar los errores típicos: aplicar la regla sin indeterminación, usar la regla del cociente u olvidar exponenciar.

6 secciones · 12 tipos de ejercicio

La idea y la regla

En los temas de límites resolviste indeterminaciones $\frac{0}{0}$ factorizando o racionalizando. Hay límites donde ese truco no sirve, como $lim_{x \to 0} \frac{1 - e ^{2 x}}{x}$ , porque no hay nada que factorizar. La regla de L'Hôpital resuelve estos casos con derivadas.

La idea es sencilla. Si $f (a) = 0$ y $g (a) = 0$ , cerca de $a$ cada función se parece a su recta tangente: $f (x) \approx f^{'} (a) (x - a)$ y $g (x) \approx g^{'} (a) (x - a)$ . Al dividir, el factor $(x - a)$ se cancela y queda $\frac{f ^{'} ( a )}{g ^{'} ( a )}$ . El cociente de las funciones se comporta como el cociente de sus pendientes.

Definición

Regla de L'Hôpital

Si $lim_{x \to c} \frac{f ( x )}{g ( x )}$ es una indeterminación de la forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ , $f$ y $g$ son derivables cerca de $c$ con $g^{'} (x) \neq = 0$ , y el límite de $\frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}$ existe, entonces

x \to c lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = x \to c lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}

La regla vale igual para límites laterales y cuando $x \to \pm \infty$ . También se puede aplicar varias veces seguidas.

Ejemplo

Un límite de parcial

Calcula $lim_{x \to e} \frac{ln x - 1}{x - e}$ .

1
Sustituimos $x = e$ . Arriba queda $ln e - 1 = 0$ y abajo $e - e = 0$ . Es $\frac{0}{0}$ , así que la regla aplica.

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Ejemplo

Exponencial cerca de cero

Calcula $lim_{x \to 0} \frac{1 - e ^{2 x}}{x}$ .

1
Al sustituir $x = 0$ : arriba $1 - e^{0} = 0$ y abajo $0$ . Es $\frac{0}{0}$ .

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cerca

d = 1

Por la izquierda

f (- 1) = - 0, 8647

Por la derecha

f (1) = - 6, 3891

$x$	$f (x)$	$x$	$f (x)$
$- 1$	$- 0, 8647$	$1$	$- 6, 3891$
$- 0, 1$	$- 1, 8127$	$0, 1$	$- 2, 214$
$- 0, 01$	$- 1, 9801$	$0, 01$	$- 2, 0201$
$- 0, 001$	$- 1, 998$	$0, 001$	$- 2, 002$

La función no existe en

x = 0

, pero sus valores se acercan a

- 2

por los dos lados.

Primero comprueba la indeterminación

La regla solo vale para $\frac{0}{0}$ y $\frac{\infty}{\infty}$ . En $lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{x + 2}$ basta sustituir y da $\frac{1}{2}$ . Si derivaras sin mirar obtendrías $\frac{1}{1} = 1$ , que está mal.

No es la regla del cociente

Se deriva el numerador por un lado y el denominador por otro. La fórmula $\frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$ sirve para derivar un cociente, no para calcular su límite con L'Hôpital.

Compruébalo tú

Infinito entre infinito

La regla también resuelve cocientes donde arriba y abajo crecen sin control. En la práctica sirve para comparar qué tan rápido crece cada función.

Ejemplo

Potencia contra exponencial

Calcula $lim_{x \to + \infty} \frac{x ^{2}}{e ^{x}}$ .

1
Arriba y abajo tienden a $+ \infty$ . Es $\frac{\infty}{\infty}$ .

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Ejemplo

Logaritmo contra potencia

Calcula $lim_{x \to + \infty} \frac{ln x}{x}$ .

1
Arriba y abajo tienden a $+ \infty$ .

1 de 2

Cuando $x \to + \infty$ , de la más lenta a la más rápida van $ln x$ , después $x^{p}$ con $p > 0$ y por último $e^{k x}$ con $k > 0$ . Cada una le gana a las anteriores, así que el cociente de una lenta entre una rápida tiende a $0$ .

Cerca de

0

las tres curvas van parejas, pero

e^{x}

se dispara antes que

x^{2}

ln x

casi no sube.

Interés compuesto contra crecimiento polinómico

Un capital con interés compuesto continuo crece como $C e^{r t}$ . Cualquier cantidad que crezca como un polinomio en $t$ termina quedándose atrás. Por ejemplo, $lim_{t \to \infty} \frac{t ^{3}}{e ^{0, 05 t}} = 0$ , aunque al principio $t^{3}$ sea mucho mayor.

Compruébalo tú

Aplicar la regla varias veces

Después de derivar una vez puede que el nuevo cociente siga siendo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ . En ese caso se aplica la regla otra vez. Antes de cada derivación hay que sustituir y comprobar que todavía hay indeterminación.

Ejemplo

Dos derivaciones

Calcula $lim_{x \to 0} \frac{e ^{x} - 1 - x}{x ^{2}}$ .

1
En $x = 0$ : arriba $1 - 1 - 0 = 0$ , abajo $0$ . Es $\frac{0}{0}$ .

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Ejemplo

Un polinomio con raíz doble

Calcula $lim_{x \to 1} \frac{x ^{3} - 3 x + 2}{x ^{2} - 2 x + 1}$ .

1
En $x = 1$ : arriba $1 - 3 + 2 = 0$ , abajo $1 - 2 + 1 = 0$ .

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Revisa antes de cada derivación

En $lim_{x \to 0} \frac{e ^{x} - 1}{x ^{2} + x}$ , la primera derivación da $\frac{e ^{x}}{2 x + 1}$ , que en $x = 0$ vale $1$ . Ahí se termina. Si derivaras otra vez sin revisar obtendrías $\frac{e ^{x}}{2} \to \frac{1}{2}$ , que es falso.

Compruébalo tú

Productos y restas: llevarlos a cociente

La regla solo trabaja con cocientes. Las formas $0 \cdot \infty$ e $\infty - \infty$ hay que reescribirlas primero.

Producto $0 \cdot \infty$ : un factor pasa al denominador invertido, $f \cdot g = \frac{f}{1/ g}$ .
Resta $\infty - \infty$ : se juntan las fracciones con común denominador.

Ejemplo

Cero por infinito

Calcula $lim_{x \to 0^{+}} x ln x$ .

1
$x \to 0$ y $ln x \to - \infty$ . Es $0 \cdot \infty$ .

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Qué factor bajar

Baja el factor que tenga la derivada más simple. Si hubieras escrito $x ln x = \frac{x}{1/ l n x}$ , la derivada de abajo sería más complicada que la de arriba. El logaritmo casi siempre conviene dejarlo arriba.

Ejemplo

Infinito menos infinito

Calcula $lim_{x \to 1^{+}} (\frac{1}{ln x} - \frac{1}{x - 1})$ .

1
Los dos términos tienden a $+ \infty$ . Es $\infty - \infty$ .

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Compruébalo tú

Potencias indeterminadas

Cuando la base y el exponente cambian a la vez aparecen tres indeterminaciones nuevas: $1^{\infty}$ , $0^{0}$ e $\infty^{0}$ . El truco es bajar el exponente con un logaritmo.

Definición

Método del logaritmo

Para calcular $L = lim f (x)^{g (x)}$ :

Llama $y = f (x)^{g (x)}$ y toma logaritmo: $ln y = g (x) ln f (x)$ .
Calcula $lim ln y$ . Suele ser $0 \cdot \infty$ , que se lleva a cociente y se resuelve con L'Hôpital.
Si $lim ln y = M$ , entonces $L = e^{M}$ .

Ejemplo

Cero a la cero

Calcula $lim_{x \to 0^{+}} x^{x}$ .

1
La base y el exponente tienden a $0$ . Es $0^{0}$ .

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Ejemplo

Uno elevado a infinito

Calcula $lim_{x \to + \infty} (1 + \frac{3}{x})^{x}$ .

1
La base tiende a $1$ y el exponente a $+ \infty$ . Es $1^{\infty}$ .

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De aquí sale el interés continuo

Un capital $C$ al $r$ anual capitalizado $n$ veces al año vale $C (1 + \frac{r}{n})^{n t}$ después de $t$ años. Si $n \to \infty$ es una forma $1^{\infty}$ , y con el método del logaritmo sale $C e^{r t}$ , la fórmula del interés compuesto continuo.

No olvides exponenciar

El error más común es calcular $lim ln y$ y dar ese número como respuesta. Lo que pide el ejercicio es $lim y$ , que es $e$ elevado a ese número.

Compruébalo tú

Resumen y errores típicos

Forma	Qué hacer
$\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$	Aplicar la regla directamente
$0 \cdot \infty$	Pasar un factor al denominador: $f \cdot g = \frac{f}{1/ g}$
$\infty - \infty$	Común denominador, o sacar factor común
$1^{\infty}$ , $0^{0}$ , $\infty^{0}$	Tomar logaritmo, resolver $lim ln y$ y exponenciar

Los errores que más se repiten

Aplicar la regla cuando no hay indeterminación.
Usar la regla del cociente en vez de derivar arriba y abajo por separado.
Seguir derivando después de que la indeterminación desapareció.
Dar el límite de $ln y$ como respuesta final.
Pensar que $1^{\infty} = 1$ . La base solo se acerca a $1$ , y el exponente enorme puede cambiarlo todo.

Cuando la regla no dice nada

La regla exige que exista el límite de $\frac{f ^{'}}{g ^{'}}$ . Si ese límite no existe, la regla no permite concluir nada, y hay que buscar otro camino, como dividir entre la potencia mayor.

Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.