Módulo 3 · Tema 8 de 10

Crecimiento, extremos y valor medio

Puntos críticos, intervalos de crecimiento, máximos y mínimos, y los teoremas de Rolle y del valor medio.

Al terminar podrás

Hallar los puntos críticos de primer orden de una función.
Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento con el signo de la derivada.
Clasificar extremos locales con el criterio de la primera derivada y hallar extremos absolutos en un intervalo cerrado.
Enunciar e interpretar los teoremas de Rolle y del valor medio, y hallar el punto $c$ que garantizan.
Resolver problemas económicos de optimización: ingreso, utilidad y costo promedio.

6 secciones · 15 tipos de ejercicio

Crecimiento y signo de la derivada

La derivada es la pendiente de la recta tangente. Si en un tramo todas las tangentes suben, la función sube. Si todas bajan, la función baja. Mueve el punto sobre la curva y mira cómo el signo de la pendiente coincide con lo que hace la gráfica.

Arrastra el punto sobre la curva.

x_{0} = - 1, 2

f^{'} (x_{0}) \approx 1, 32

La función crece aquíAbre hacia abajo:

f^{''} (x_{0}) < 0

f (x) = x^{3} - 3 x

. La pendiente es positiva antes de

x = - 1

y después de

x = 1

, y negativa entre los dos.

Definición

Signo de la derivada y monotonía

Sea $f$ derivable en el intervalo $(a, b)$ .

Si $f^{'} (x) > 0$ para todo $x \in (a, b)$ , $f$ es creciente en $(a, b)$ .
Si $f^{'} (x) < 0$ para todo $x \in (a, b)$ , $f$ es decreciente en $(a, b)$ .
Si $f^{'} (x) = 0$ para todo $x \in (a, b)$ , $f$ es constante en $(a, b)$ .

Estos resultados salen del teorema del valor medio, que verás más abajo.

Ejemplo

Intervalos de crecimiento

Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f (x) = x^{3} - 3 x$ .

1
Derivamos: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$ .

1 de 3

	$(- \infty, - 1)$	$(- 1, 1)$	$(1, + \infty)$
$x + 1$	$-$	$+$	$+$
$x - 1$	$-$	$-$	$+$
$f^{'} (x)$	$+$	$-$	$+$
$f$	crece	decrece	crece

Ejemplo

Demostrar que una función crece (pregunta de parcial)

Sea $g$ una función derivable, positiva y creciente. Demuestra que $f (x) = e^{x} g (x)$ es creciente.

1
Por la regla del producto, $f^{'} (x) = e^{x} g (x) + e^{x} g^{'} (x) = e^{x} (g (x) + g^{'} (x))$ .

1 de 3

Primero el dominio

Los intervalos de crecimiento tienen que estar dentro del dominio. En $f (x) = x^{2} - 8 ln x$ la derivada $\frac{2 ( x - 2 ) ( x + 2 )}{x}$ se anula en $x = - 2$ , pero ese punto no cuenta porque $ln x$ solo existe para $x > 0$ .

Compruébalo tú

Extremos locales y puntos críticos

Piensa en la gráfica como el perfil de una montaña. Una cima es un máximo local: el punto más alto comparado con sus vecinos, aunque más allá haya cimas más altas. Un valle es un mínimo local.

Definición

Máximo y mínimo local

$f$ tiene un máximo local en $a$ si existe $δ > 0$ tal que $f (x) \leq f (a)$ para todo $x \in (a - δ, a + δ)$ .

$f$ tiene un mínimo local en $b$ si existe $δ > 0$ tal que $f (x) \geq f (b)$ para todo $x \in (b - δ, b + δ)$ .

El número $f (a)$ es el valor máximo local y $a$ es el punto donde se alcanza.

Definición

Punto crítico de primer orden

Un punto $a$ del dominio de $f$ es punto crítico de primer orden si $f^{'} (a) = 0$ o si $f^{'} (a)$ no existe.

Si $f$ es derivable en $a$ y tiene un extremo local en $a$ , entonces $f^{'} (a) = 0$ : en una cima o en un valle suave la tangente es horizontal. Por eso los extremos se buscan entre los puntos críticos.

El recíproco es falso

Que $f^{'} (a) = 0$ no garantiza un extremo. Con $f (x) = x^{3}$ se tiene $f^{'} (0) = 0$ , pero la función crece a los dos lados del $0$ . Los puntos críticos son solo candidatos.

f (x) = x^{3}

tiene tangente horizontal en el origen, pero no tiene extremo allí.

Ejemplo

Un punto crítico que no es extremo

Halla los puntos críticos de $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2$ .

1
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x + 3 = 3 (x - 1)^{2}$ .

1 de 3

Ejemplo

Un punto crítico sin derivada

Halla los puntos críticos de $f (x) = ∣ x - 2 ∣$ .

1
Para $x > 2$ , $f^{'} (x) = 1$ . Para $x < 2$ , $f^{'} (x) = - 1$ . Nunca vale cero.

1 de 3

Compruébalo tú

Criterio de la primera derivada

Para saber qué pasa en un punto crítico basta mirar el signo de la derivada justo antes y justo después. Si la función subía y empieza a bajar, pasó por una cima.

Definición

Criterio de la primera derivada

Sea $a$ un punto crítico de $f$ , con $f$ continua en $a$ y derivable cerca de $a$ (no hace falta que lo sea en $a$ ).

Si $f^{'}$ pasa de positiva a negativa en $a$ , $f$ tiene un máximo local en $a$ .
Si $f^{'}$ pasa de negativa a positiva en $a$ , $f$ tiene un mínimo local en $a$ .
Si $f^{'}$ no cambia de signo, no hay extremo en $a$ .

Ejemplo

Máximo y mínimo de una cúbica

Halla los extremos locales de $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ .

1
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 = 3 (x - 1) (x - 3)$ . Puntos críticos: $x = 1$ y $x = 3$ .

1 de 4

Compruébalo tú

Ejemplo

Con un punto fuera del dominio

Halla los extremos locales de $f (x) = x + \frac{4}{x}$ .

1
El dominio es $R - {0}$ .

1 de 4

Local no es absoluto

En el ejemplo anterior el máximo local vale $- 4$ y el mínimo local vale $4$ . El máximo es menor que el mínimo. No hay contradicción: cada uno se compara solo con sus vecinos.

El 0 separa, pero no es crítico

En $x + \frac{4}{x}$ el $0$ no está en el dominio, así que no es punto crítico ni puede ser extremo. Igual hay que ponerlo en la tabla de signos, porque la derivada puede cambiar de signo al cruzarlo.

Compruébalo tú

Extremos absolutos en un intervalo cerrado

A veces interesa el valor más grande y el más pequeño en todo un intervalo, no solo entre vecinos. El teorema de Weierstrass garantiza que una función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ alcanza un máximo y un mínimo absolutos. Esos valores solo pueden estar en dos lugares: en un punto crítico de dentro, o en uno de los extremos del intervalo.

El procedimiento es directo:

Halla los puntos críticos que están dentro de $(a, b)$ .
Evalúa $f$ en esos puntos y en $a$ y $b$ .
El mayor valor es el máximo absoluto y el menor es el mínimo absoluto.

Ejemplo

Cúbica en un intervalo cerrado

Halla los extremos absolutos de $f (x) = x^{3} - 3 x$ en $[- 2, 3]$ .

1
$f^{'} (x) = 3 (x - 1) (x + 1)$ . Los puntos críticos $- 1$ y $1$ están dentro del intervalo.

1 de 3

Capacidad limitada

Si una planta solo puede producir entre $0$ y $100$ unidades, la producción óptima está en un punto crítico o en uno de los límites. Cuando la utilidad sigue creciendo en $q = 100$ , lo mejor es producir a plena capacidad, aunque la derivada no sea cero allí.

Compruébalo tú

Teoremas de Rolle y del valor medio

Si en un viaje recorres 240 km en 3 horas, tu velocidad media fue de 80 km/h. Aunque hayas ido más rápido y más lento, en algún instante el velocímetro marcó exactamente 80. Eso es el teorema del valor medio: la tasa instantánea alcanza en algún momento a la tasa media.

Definición

Teorema de Rolle

Si $f$ es continua en $[a, b]$ , derivable en $(a, b)$ y $f (a) = f (b)$ , entonces existe al menos un $c \in (a, b)$ tal que $f^{'} (c) = 0$ .

Definición

Teorema del valor medio (TVM)

Si $f$ es continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$ , existe al menos un $c \in (a, b)$ tal que

f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}

Lectura geométrica. El cociente $\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ es la pendiente de la secante que une $(a, f (a))$ con $(b, f (b))$ . El teorema dice que en algún punto intermedio la tangente es paralela a esa secante. Rolle es el caso en que la secante es horizontal.

Lectura analítica. El cociente es la variación media de $f$ en $[a, b]$ y $f^{'} (c)$ es la variación instantánea en $c$ . En algún punto las dos coinciden.

f (x) = x^{2}

[0, 2]

. La secante tiene pendiente

2

y la tangente en

c = 1

también.

Ejemplo

Hallar el c del TVM

Verifica el TVM para $f (x) = x^{3}$ en $[0, 3]$ y halla $c$ .

1
$f$ es un polinomio: continua y derivable en todas partes. Se cumplen las hipótesis.

1 de 4

Ejemplo

Rolle en una parábola

Verifica Rolle para $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ en $[1, 3]$ .

1
Es un polinomio, así que es continua y derivable. Además $f (1) = 0$ y $f (3) = 0$ .

1 de 2

Sin hipótesis no hay teorema

$f (x) = ∣ x ∣$ en $[- 1, 1]$ cumple $f (- 1) = f (1) = 1$ , pero su derivada vale $- 1$ o $1$ , nunca $0$ . No contradice a Rolle: la función no es derivable en $x = 0$ y falla una hipótesis.

De dónde salen los criterios de crecimiento

El TVM se demuestra aplicando Rolle a $h (x) = f (x) - \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} (x - a)$ , que cumple $h (a) = h (b) = f (a)$ .

A su vez, el TVM justifica el criterio de crecimiento. Si $f^{'} > 0$ y $x_{1} < x_{2}$ , existe $c$ entre ellos con $f (x_{2}) - f (x_{1}) = f^{'} (c) (x_{2} - x_{1}) > 0$ . Por eso $f (x_{2}) > f (x_{1})$ y la función crece.

Tasa media y tasa instantánea

Si la producción de una planta pasó de 100 a 180 unidades en 4 horas, la tasa media fue de 20 unidades por hora. Si la producción varía de forma continua y derivable, el TVM asegura que en algún instante la tasa de producción fue exactamente 20 unidades por hora.

Compruébalo tú

Problemas de optimización en economía

Maximizar la utilidad o minimizar el costo es buscar un extremo. El procedimiento siempre es el mismo:

Escribe la función que quieres optimizar en una sola variable.
Fija el dominio con sentido económico, por ejemplo $q \geq 0$ .
Deriva, iguala a cero y despeja.
Comprueba con el criterio de la primera derivada que es un máximo o un mínimo.
Responde lo que se pregunta, con unidades.

Ejemplo

Ingreso máximo

La demanda de un producto es $p = 80 - 2 q$ . ¿Qué cantidad maximiza el ingreso?

1
Ingreso es precio por cantidad: $I (q) = (80 - 2 q) q = 80 q - 2 q^{2}$ .

1 de 4

Ejemplo

Costo promedio mínimo

El costo de producir $q$ unidades es $C (q) = 0, 1 q^{2} + 3 q + 250$ (valores de ejemplo). ¿Qué producción minimiza el costo promedio?

1
Costo promedio: $C (q) = \frac{C ( q )}{q} = 0, 1 q + 3 + \frac{250}{q}$ .

1 de 4

El costo marginal corta al promedio en su mínimo

En el ejemplo, $C^{'} (q) = 0, 2 q + 3$ y $C^{'} (50) = 13$ , igual al costo promedio mínimo. No es casualidad: mientras producir una unidad más cueste menos que el promedio, el promedio baja. Cuando cuesta más, sube.

Ejemplo

Utilidad máxima

Con demanda $p = 100 - q$ y costo $C (q) = 20 q + 500$ , halla la producción que maximiza la utilidad.

1
$U (q) = I (q) - C (q) = 100 q - q^{2} - 20 q - 500 = 80 q - q^{2} - 500$ .

1 de 3

Ingreso marginal igual a costo marginal

Igualar $U^{'} (q) = 0$ es lo mismo que pedir $I^{'} (q) = C^{'} (q)$ . En el ejemplo, $I^{'} (40) = 100 - 80 = 20$ y $C^{'} (40) = 20$ . Es la regla clásica de la empresa que maximiza su utilidad.

Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.