Módulo 3 · Tema 9 de 10

Concavidad e inflexión

La segunda derivada, convexidad, puntos de inflexión y el criterio de la segunda derivada.

Al terminar podrás

Calcular la segunda derivada y leer en su signo la forma de la gráfica.
Determinar intervalos de convexidad y concavidad con la convención de la cátedra.
Hallar puntos de inflexión y distinguirlos de los puntos donde $f^{''} = 0$ sin cambio de signo.
Clasificar extremos con el criterio de la segunda derivada.
Hallar parámetros a partir de condiciones y leer una gráfica desde los signos de $f^{'}$ y $f^{''}$ .

6 secciones · 15 tipos de ejercicio

Funciones convexas y cóncavas

Dos funciones pueden crecer en el mismo intervalo y tener formas muy distintas. Una sube cada vez más rápido, como $e^{x}$ . Otra sube cada vez más lento, como $ln x$ . La primera se abre hacia arriba y la segunda hacia abajo. Esa curvatura es lo que estudia este tema.

Definición

Convención de la cátedra

Una función es convexa en un intervalo si su gráfica se abre hacia arriba, como $x^{2}$ . Es cóncava si se abre hacia abajo, como $- x^{2}$ .

Muchos libros llaman "cóncava hacia arriba" a lo que aquí es convexa, y "cóncava hacia abajo" a lo que aquí es cóncava. En este curso se usan las palabras convexa y cóncava. Ante la duda, el signo de $f^{''}$ lo aclara todo.

La definición formal usa cuerdas. $f$ es convexa en $[a, b]$ si el segmento que une dos puntos cualesquiera de la gráfica queda por encima de la curva. Es cóncava si el segmento queda por debajo. Con un parámetro $t \in (0, 1)$ , la condición para que sea convexa se escribe así:

f ((1 - t) a + t b) < (1 - t) f (a) + t f (b)

Esta forma es la que más se usa en teoría económica.

Convexa: la cuerda queda por encima de la curva.

Cóncava: la cuerda queda por debajo de la curva.

Rendimientos decrecientes

Una función de producción cóncava dice que cada trabajador adicional aporta menos que el anterior: rendimientos decrecientes. Una función de costo convexa dice que producir cada unidad extra cuesta más que la anterior. Por eso en economía la concavidad y la convexidad aparecen en casi todos los modelos.

Compruébalo tú

La segunda derivada decide

En una curva convexa las pendientes de las tangentes van aumentando de izquierda a derecha: $f^{'}$ es creciente. En una cóncava van disminuyendo: $f^{'}$ es decreciente. Y para saber si $f^{'}$ crece basta mirar el signo de su derivada, que es $f^{''}$ .

Definición

Criterio de la segunda derivada para la convexidad

Si $f^{''} (x) > 0$ para todo $x$ de $(a, b)$ , $f$ es convexa en $(a, b)$ .

Si $f^{''} (x) < 0$ para todo $x$ de $(a, b)$ , $f$ es cóncava en $(a, b)$ .

Arrastra el punto sobre la curva.

x_{0} = 0

f^{'} (x_{0}) \approx 0

Tangente horizontal: posible extremoAbre hacia abajo:

f^{''} (x_{0}) < 0

Mueve el punto. A la izquierda de

x = 1

las pendientes bajan (cóncava) y a la derecha suben (convexa).

Ejemplo

Intervalos de convexidad

Halla los intervalos de convexidad y concavidad de $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 6$ .

1
$f^{'} (x) = 4 x^{3} - 6 x$ y $f^{''} (x) = 12 x^{2} - 6 = 6 (2 x^{2} - 1)$ .

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f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 6

cambia de convexa a cóncava y de vuelta a convexa.

No confundas los signos

$f^{'}$ dice si la función sube o baja. $f^{''}$ dice hacia dónde se abre. Una función puede ser decreciente y convexa a la vez, como $e^{- x}$ .

Compruébalo tú

Puntos de inflexión

Un punto de inflexión es un punto de la gráfica donde la curva cambia de forma: pasa de convexa a cóncava o al revés. Allí la recta tangente atraviesa la curva.

Definición

Punto de inflexión

$f$ tiene un punto de inflexión en $a$ , con $a$ en el dominio y $f$ continua en $a$ , si $f^{''}$ cambia de signo en $a$ : existe $δ > 0$ tal que $f^{''} > 0$ en $(a - δ, a)$ y $f^{''} < 0$ en $(a, a + δ)$ , o al revés.

Si $f^{'}$ es derivable en un punto de inflexión $a$ , entonces $f^{''} (a) = 0$ .

Definición

Punto crítico de segundo orden

Un punto $a$ del dominio es punto crítico de segundo orden si $f^{''} (a) = 0$ o si $f^{''} (a)$ no existe. Son los candidatos a inflexión. Para confirmar hay que ver que $f^{''}$ cambia de signo.

Ejemplo

Inflexión de una exponencial

Halla el punto de inflexión de $f (x) = x e^{x}$ .

1
$f^{'} (x) = e^{x} + x e^{x} = (x + 1) e^{x}$ .

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Que f'' valga cero no basta

$f (x) = x^{4}$ tiene $f^{''} (x) = 12 x^{2}$ , que vale $0$ en $x = 0$ . Pero $f^{''}$ es positiva a los dos lados: la función es convexa en todo $R$ y no hay inflexión.

Dónde más buscar

La concavidad también puede cambiar donde $f^{''}$ no existe. $f (x) = 3 x$ tiene inflexión en $x = 0$ aunque allí $f^{''}$ no exista. En cambio $\frac{1}{x}$ cambia de cóncava a convexa al cruzar $x = 0$ , pero ese punto no está en el dominio y no es inflexión. Igual hay que ponerlo en la tabla de signos.

Compruébalo tú

Criterio de la segunda derivada para extremos

Cerca de un mínimo la curva se abre hacia arriba, y cerca de un máximo se abre hacia abajo. Por eso, en un punto donde la tangente es horizontal, el signo de $f^{''}$ dice qué tipo de extremo hay sin tener que estudiar los signos de $f^{'}$ .

Definición

Criterio de la segunda derivada

Sea $a$ con $f^{'} (a) = 0$ .

Si $f^{''} (a) < 0$ , $f$ tiene un máximo local en $a$ .
Si $f^{''} (a) > 0$ , $f$ tiene un mínimo local en $a$ .
Si $f^{''} (a) = 0$ , el criterio no decide. Hay que volver al criterio de la primera derivada.

Ejemplo

Pregunta de parcial

Determina los extremos de $h (x) = \frac{x}{2} e^{\frac{x}{2}}$ con el criterio de la segunda derivada.

1
$h^{'} (x) = \frac{1}{2} e^{x /2} + \frac{x}{4} e^{x /2} = \frac{1}{4} e^{x /2} (x + 2)$ . Se anula en $x = - 2$ .

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Ejemplo

Otra de parcial, con raíz

Halla los puntos críticos de $g (x) = x 2 - x^{2}$ y clasifícalos con el criterio de la segunda derivada.

1
Dominio: $[- 2, 2]$ .

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Cuando f'' vale cero

$x^{4}$ , $- x^{4}$ y $x^{3}$ cumplen $f^{'} (0) = 0$ y $f^{''} (0) = 0$ . La primera tiene un mínimo, la segunda un máximo y la tercera nada. Por eso con $f^{''} (a) = 0$ el criterio no concluye.

Condición de segundo orden

En economía, $U^{'} (q) = 0$ se llama condición de primer orden y $U^{''} (q) < 0$ condición de segundo orden. La segunda asegura que el punto hallado es un máximo de utilidad y no un mínimo.

Compruébalo tú

Hallar parámetros

En los parciales aparecen funciones con letras en lugar de números, y te piden los valores que hacen que la función cumpla ciertas condiciones. Cada condición se traduce en una ecuación:

Pasa por $(a, b)$ : $f (a) = b$ .
Extremo en $x = a$ : $f^{'} (a) = 0$ .
Inflexión en $x = a$ : $f^{''} (a) = 0$ .

Ejemplo

Coeficientes de una cúbica (pregunta de parcial)

Halla $a$ , $b$ , $c$ y $d$ para que $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ tenga un extremo en $(1, - 2)$ y un punto de inflexión en $(0, 0)$ .

1
$f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ y $f^{''} (x) = 6 a x + 2 b$ .

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Ejemplo

Concavidad con parámetros (pregunta de parcial)

Sea $f (x) = \frac{1}{a} e^{- \frac{x ^{2}}{b}}$ con $a \neq = 0$ y $b > 0$ . Halla sus intervalos de convexidad y concavidad y sus puntos de inflexión.

1
$f^{'} (x) = \frac{1}{a} e^{- x^{2} / b} \cdot (- \frac{2 x}{b}) = - \frac{2 x}{ab} e^{- x^{2} / b}$ .

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Con

a = 1

b = 2

las inflexiones están en

x = \pm 1

. Es la forma de la campana de Gauss.

Compruébalo tú

La gráfica a partir de los signos de f' y f''

Con los signos de $f^{'}$ y $f^{''}$ en cada tramo se puede dibujar la forma de la gráfica sin conocer la fórmula. Hay cuatro combinaciones posibles:

$f^{'}$	$f^{''}$	Forma	Ejemplo
$+$	$+$	Sube cada vez más rápido	$e^{x}$
$+$	$-$	Sube cada vez más lento	$ln x$
$-$	$+$	Baja cada vez más lento	$e^{- x}$
$-$	$-$	Baja cada vez más rápido	$- e^{x}$

Ejemplo

Leer la información

Una función continua cumple $f^{'} (x) > 0$ en $(- \infty, - 1) \cup (2, + \infty)$ , $f^{'} (x) < 0$ en $(- 1, 2)$ , $f^{''} (x) < 0$ en $(- \infty, \frac{1}{2})$ y $f^{''} (x) > 0$ en $(\frac{1}{2}, + \infty)$ . Describe su forma.

1
En $x = - 1$ , $f^{'}$ pasa de $+$ a $-$ : máximo local.

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Cómo lo piden en el parcial

Suelen dar además valores como $f (0) = 4$ , límites como $lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \infty$ o una asíntota oblicua. Primero ubica los puntos y las asíntotas, después une los tramos respetando el crecimiento y la curvatura de cada uno.

Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.