Módulo 3 · Tema 10 de 10

Estudio completo de una función

Juntar dominio, cortes, asíntotas, crecimiento y concavidad para dibujar cualquier gráfica.

Al terminar podrás

Seguir el procedimiento completo para estudiar una función: dominio, cortes, simetría, asíntotas, crecimiento y concavidad.
Resumir el estudio en una tabla y dibujar la gráfica a partir de ella.
Deducir el rango de una función a partir de su estudio.
Determinar los coeficientes de una función a partir de condiciones sobre sus extremos e inflexiones.
Dibujar una función a partir de condiciones sobre sus límites y sus derivadas.

6 secciones · 13 tipos de ejercicio

El procedimiento completo

Estudiar una función es juntar todo lo que sabes de ella hasta poder dibujarla sin calculadora. Cada paso aporta una pieza: dónde existe, dónde corta los ejes, hacia dónde se va, dónde sube y baja, hacia dónde se curva. Al final las piezas encajan en una sola gráfica.

Los pasos, en orden:

1. Dominio. Dónde está definida $f$ . Dice qué tramos dibujar y dónde buscar asíntotas verticales.
2. Cortes. $f (x) = 0$ y $f (0)$ , para ubicar los puntos sobre los ejes.
3. Simetría. Comparar $f (- x)$ con $f (x)$ . Si es par o impar, basta estudiar la mitad.
4. Asíntotas. Límites en los bordes del dominio y en $\pm \infty$ . Dicen hacia dónde se va la gráfica.
5. Crecimiento. Signo de $f^{'}$ : intervalos de crecimiento, máximos y mínimos.
6. Concavidad. Signo de $f^{''}$ : intervalos de convexidad y puntos de inflexión.
7. Tabla y gráfica. Valores en los puntos notables y dibujo uniendo todo.
8. Rango. Se lee en la gráfica: qué valores toma $f$ .

Un paso controla al otro

Si la función tiene un máximo en $x = 1$ pero tu tabla dice que crece en $(0, 3)$ , algo está mal. Si hay asíntota horizontal $y = 0$ y la función es positiva para $x$ grande, tiene que acercarse a $0$ desde arriba. Usa estas coherencias para detectar errores antes de dibujar.

Definición

Simetrías

$f$ es par si $f (- x) = f (x)$ para todo $x$ del dominio. Su gráfica es simétrica respecto al eje $y$ , como $x^{2}$ .

$f$ es impar si $f (- x) = - f (x)$ . Su gráfica es simétrica respecto al origen, como $x^{3}$ .

Compruébalo tú

Ejemplo de parcial: una racional acotada

Ejemplo

Estudio completo de f(x) = x/(x² + 2)

Realiza el estudio completo de $f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 2}$ : dominio, rango, cortes, asíntotas, crecimiento, extremos, concavidad, inflexiones y gráfica.

1
Dominio. $x^{2} + 2$ nunca vale cero, así que el dominio es $R$ . No hay asíntotas verticales.

1 de 8

Intervalo	$f^{'}$	$f^{''}$	Forma
$(- \infty, - 6)$	$-$	$-$	decrece, cóncava
$(- 6, - 2)$	$-$	$+$	decrece, convexa
$(- 2, 0)$	$+$	$+$	crece, convexa
$(0, 2)$	$+$	$-$	crece, cóncava
$(2, 6)$	$-$	$-$	decrece, cóncava
$(6, + \infty)$	$-$	$+$	decrece, convexa

La tabla resume el estudio. Cada fila es un tramo de la gráfica.

f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 2}

. Los puntos naranjas son las tres inflexiones. La escala vertical está ampliada para que se vea la forma.

El cero también es inflexión

Es fácil quedarse con $x = \pm 6$ y olvidar el factor $x$ de $f^{''}$ . Ese factor también cambia de signo, y el origen es un punto de inflexión.

Ejemplo de parcial: con asíntota vertical

Ejemplo

Estudio completo de g(x) = (4x − 8)/(x − 1)²

Estudia $g (x) = \frac{4 x - 8}{( x - 1 ) ^{2}}$ y halla su rango.

1
Dominio. $R - {1}$ .

1 de 7

Máximo en

(3, 1)

e inflexión en

(4, \frac{8}{9})

, el punto naranja.

Simplifica antes de seguir

Al derivar un cociente con $(x - 1)^{2}$ abajo, el numerador siempre tiene un factor $(x - 1)$ que se cancela. Simplificarlo a tiempo deja $g^{'}$ con $(x - 1)^{3}$ abajo y ahorra mucho trabajo en $g^{''}$ .

Compruébalo tú

Asíntotas oblicuas y exponenciales

Cuando el grado del numerador supera en uno al del denominador, la gráfica se acerca a una recta inclinada: una asíntota oblicua $y = m x + n$ . Se obtiene dividiendo, o con los límites

m = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x} n = x \to \pm \infty lim [f (x) - m x]

Ejemplo

Una racional con asíntota oblicua

Estudia $f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1}$ .

1
Dominio $R - {1}$ . Corte único en $(0, 0)$ .

1 de 5

La curva se pega a la recta

y = x + 1

cuando

x

se aleja.

Ejemplo

Una exponencial

Estudia $f (x) = x e^{x}$ .

1
Dominio $R$ , corte único en $(0, 0)$ , sin simetría.

1 de 5

f (x) = x e^{x}

. El punto azul es el mínimo, en

x = - 1

, y el naranja la inflexión, en

x = - 2

Compruébalo tú

Curvas de este tipo en economía

Funciones como $t e^{- t}$ describen fenómenos que suben rápido, llegan a un pico y se apagan: la respuesta de las ventas a una campaña publicitaria o el efecto de una medida a lo largo del tiempo. El estudio completo dice cuándo es el pico y cuándo empieza a frenarse la caída.

Hallar coeficientes por condiciones

Otra pregunta clásica da la forma de la función con letras y unas condiciones, y pide los coeficientes. Cada condición se traduce en una ecuación, y hacen falta tantas ecuaciones como incógnitas.

Pasa por $(a, b)$ : $f (a) = b$ .
Extremo en $x = a$ : $f^{'} (a) = 0$ .
Inflexión en $x = a$ : $f^{''} (a) = 0$ .

Ejemplo

Cúbica con extremo e inflexión dados

Halla $a$ , $b$ , $c$ y $d$ para que $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ tenga un máximo local en $(- 1, 11)$ y un punto de inflexión en $(1, - 5)$ .

1
$f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ y $f^{''} (x) = 6 a x + 2 b$ .

1 de 7

Ejemplo

Dos incógnitas

Halla $a$ y $b$ para que $f (x) = a x^{3} + b x^{2}$ tenga un extremo en $(2, 4)$ .

1
$f (2) = 8 a + 4 b = 4$ y $f^{'} (2) = 12 a + 4 b = 0$ .

1 de 3

Comprueba al final

Las ecuaciones $f^{'} (a) = 0$ y $f^{''} (a) = 0$ son necesarias, pero no garantizan que haya extremo o inflexión. Con los coeficientes hallados, revisa que $f^{''}$ no se anule en el extremo y que cambie de signo en la inflexión.

Compruébalo tú

Dibujar a partir de condiciones

En el parcial también aparece el problema al revés: te dan límites, valores y signos de las derivadas, y tienes que dibujar una función que los cumpla. El orden de trabajo es el mismo del estudio completo.

Ejemplo

Pregunta de parcial

Dibuja una función que cumpla: $f (2) = 0$ , $f (0) = 4$ ; $lim_{x \to 1^{-}} f (x) = + \infty$ y $lim_{x \to 1^{+}} f (x) = - \infty$ ; $lim_{x \to + \infty} f (x) = 3$ ; $lim_{x \to - \infty} \frac{f ( x )}{x} = \frac{2}{3}$ y $lim_{x \to - \infty} [f (x) - \frac{2}{3} x] = 2$ .

1
Los dos límites laterales en $x = 1$ dan una asíntota vertical. Por la izquierda la curva sube sin control y por la derecha baja sin control.

1 de 5

Una de las muchas funciones que cumplen las condiciones. Lo que se evalúa es que respete asíntotas, puntos y signos.

Orden para dibujar

Primero las asíntotas, punteadas.
Después los puntos dados.
Luego los tramos de crecimiento y decrecimiento con los signos de $f^{'}$ .
Al final la curvatura con los signos de $f^{''}$ .

Si te dan $f^{'}$ y $f^{''}$ , cada tramo tiene una de las cuatro formas: sube o baja, abierta hacia arriba o hacia abajo.

Compruébalo tú

¿Listo para practicar?

Los ejercicios van de lo básico a preguntas tipo parcial. Cada respuesta se corrige al instante y, si te equivocas, te decimos por qué.